Le présent ouvrage reprend avec beaucoup de compléments un cours de “ Licence
de Mathématiques” - ex troisième année d’Université - donné à l’Université de
Grenoble I pendant les années 1985-88. Le but de ce cours était de présenter aux
étudiants quelques notions théoriques de base concernant les équations et systèmes
d’équations différentielles ordinaires, tout en explicitant des méthodes numériques
permettant de résoudre effectivement de telles équations. C’est pour cette raison
qu’une part importante du cours est consacrée à la mise en place d’un certain nombre
de techniques fondamentales de l’Analyse Numérique : interpolation polynomiale,
intégration numérique, méthode de Newton à une et plusieurs variables.
L’originalité de cet ouvrage ne réside pas tant dans le contenu, pour lequel l’auteur s’est inspiré sans vergogne de la littérature existante - en particulier du livre de Crouzeix-Mignot pour ce qui concerne les méthodes numériques, et des livres classiques de H. Cartan et J. Dieudonné pour la théorie des équations différentielles - mais plutôt dans le choix des thèmes et dans la présentation. S’il est relativement facile de trouver des ouvrages spécialisés consacrés soit aux aspects théoriques fondamentaux de la théorie des équations différentielles et ses applications (Arnold, Coddington-Levinson) soit aux techniques de l’Analyse Numérique (Henrici, Hildebrand), il y a relativement peu d’ouvrages qui couvrent simultanément ces différents aspects et qui se situent à un niveau accessible pour 1’«honnête » étudiant de second cycle. Nous avons en particulier consacré deux chapitres entiers à l’étude des méthodes élémentaires de résolution par intégration explicite et à l’étude des équations différentielles linéaires à coefficients constants, ces questions étant généralement omises dans les ouvrages de niveau plus avancé. Par ailleurs, un effort particulier a été fait pour illustrer les principaux résultats par des exemples variés.
La plupart des méthodes numériques exposées avaient pu être effectivement mises en œ uvre par les étudiants au moyen de programmes écrits en Turbo Pascal - à une époque remontant maintenant à la préhistoire de l’informatique. Aujourd’hui, les environnements disponibles sont beaucoup plus nombreux, mais nous recomman¬ dons certainement encore aux étudiants d’essayer d’implémenter les algorithmes proposés dans ce livre sous forme de programmes écrits dans des langages de base comme C ou C++, et particulièrement dans un environnement de programmation libre comme GCC sous GNU/Linux. Bien entendu, il existe des logiciels libres spécialisés dans le calcul numérique qui implémentent les principaux algorithmes utiles sous forme de librairies toutes prêtes - Scilab est l’un des plus connus - mais d’un point de vue pédagogique et dans un premier temps au moins, il est bien plus formateur pour les étudiants de mettre vraiment “ la main dans le cambouis” en pro¬ grammant eux-mêmes les algorithmes. Nous ne citerons pas d’environnements ni de logiciels propriétaires équivalents, parce que ces logiciels dont le fonctionnement intime est inaccessible à l’utilisateur sont contraires à notre éthique scientifique ou éducative, et nous ne souhaitons donc pas en encourager l’usage.
L’ensemble des sujets abordés dans le présent ouvrage dépasse sans aucun doute le volume pouvant être traité en une seule année de cours - même si jadis nous avions pu en enseigner l’essentiel au cours de la seule année de Licence. Dans les conditions actuelles, il nous paraît plus judicieux d’envisager une répartition du contenu sur l’ensemble des deux années du second cycle universitaire. Ce texte est probablement utilisable aussi pour les élèves d’écoles d’ingénieurs, ou comme ouvrage de synthèse au niveau de l’agrégation de mathématiques. Pour guider le lecteur dans sa sélection, les sous-sections de chapitres les plus difficiles ainsi que les démonstrations les plus délicates sont marquées d’un astérisque. Le lecteur pourra trouver de nombreux exemples de tracés graphiques de solutions d’équations différentielles dans le livre d’Artigue-Gautheron : on y trouvera en particulier des illustrations variées des phénomènes qualitatifs étudiés au chapitre X, concernant les points singuliers des champs de vecteurs.
L’originalité de cet ouvrage ne réside pas tant dans le contenu, pour lequel l’auteur s’est inspiré sans vergogne de la littérature existante - en particulier du livre de Crouzeix-Mignot pour ce qui concerne les méthodes numériques, et des livres classiques de H. Cartan et J. Dieudonné pour la théorie des équations différentielles - mais plutôt dans le choix des thèmes et dans la présentation. S’il est relativement facile de trouver des ouvrages spécialisés consacrés soit aux aspects théoriques fondamentaux de la théorie des équations différentielles et ses applications (Arnold, Coddington-Levinson) soit aux techniques de l’Analyse Numérique (Henrici, Hildebrand), il y a relativement peu d’ouvrages qui couvrent simultanément ces différents aspects et qui se situent à un niveau accessible pour 1’«honnête » étudiant de second cycle. Nous avons en particulier consacré deux chapitres entiers à l’étude des méthodes élémentaires de résolution par intégration explicite et à l’étude des équations différentielles linéaires à coefficients constants, ces questions étant généralement omises dans les ouvrages de niveau plus avancé. Par ailleurs, un effort particulier a été fait pour illustrer les principaux résultats par des exemples variés.
La plupart des méthodes numériques exposées avaient pu être effectivement mises en œ uvre par les étudiants au moyen de programmes écrits en Turbo Pascal - à une époque remontant maintenant à la préhistoire de l’informatique. Aujourd’hui, les environnements disponibles sont beaucoup plus nombreux, mais nous recomman¬ dons certainement encore aux étudiants d’essayer d’implémenter les algorithmes proposés dans ce livre sous forme de programmes écrits dans des langages de base comme C ou C++, et particulièrement dans un environnement de programmation libre comme GCC sous GNU/Linux. Bien entendu, il existe des logiciels libres spécialisés dans le calcul numérique qui implémentent les principaux algorithmes utiles sous forme de librairies toutes prêtes - Scilab est l’un des plus connus - mais d’un point de vue pédagogique et dans un premier temps au moins, il est bien plus formateur pour les étudiants de mettre vraiment “ la main dans le cambouis” en pro¬ grammant eux-mêmes les algorithmes. Nous ne citerons pas d’environnements ni de logiciels propriétaires équivalents, parce que ces logiciels dont le fonctionnement intime est inaccessible à l’utilisateur sont contraires à notre éthique scientifique ou éducative, et nous ne souhaitons donc pas en encourager l’usage.
L’ensemble des sujets abordés dans le présent ouvrage dépasse sans aucun doute le volume pouvant être traité en une seule année de cours - même si jadis nous avions pu en enseigner l’essentiel au cours de la seule année de Licence. Dans les conditions actuelles, il nous paraît plus judicieux d’envisager une répartition du contenu sur l’ensemble des deux années du second cycle universitaire. Ce texte est probablement utilisable aussi pour les élèves d’écoles d’ingénieurs, ou comme ouvrage de synthèse au niveau de l’agrégation de mathématiques. Pour guider le lecteur dans sa sélection, les sous-sections de chapitres les plus difficiles ainsi que les démonstrations les plus délicates sont marquées d’un astérisque. Le lecteur pourra trouver de nombreux exemples de tracés graphiques de solutions d’équations différentielles dans le livre d’Artigue-Gautheron : on y trouvera en particulier des illustrations variées des phénomènes qualitatifs étudiés au chapitre X, concernant les points singuliers des champs de vecteurs.
