Cet ouvrage fait suite à celui intitulé « Algèbre I » (écrit en collaboration avec
Thomas Hausberger) dont je reprends ici une partie de l’avant-propos.
La très longue histoire de l’étude des nombres, puis des équations, a permis de remarquer des analogies entre certaines propriétés vérifiées par des objets mathématiques de natures différentes, par exemple les nombres et les polynômes. Cela a conduit les mathématiciens, en particulier au XIXe siècle, à tenter de dé- gager une axiomatique qui rende compte des raisons profondes de ces analogies. Il est alors apparu que ces objets, de natures différentes, possédaient les mêmes structures algébriques, par exemple groupe, espace vectoriel, anneau, etc.
Il devint évident qu’il était plus efficace d’étudier ces structures pour ellesmêmes, indépendamment de leurs réalisations concrètes, puis d’appliquer les ré- sultats obtenus dans les divers domaines que l’on considérait antérieurement.
L’algèbre abstraite était née.
C’est l’étude des équations algébriques qui est à l’origine de la création et du développement de l’algèbre, dont le nom provient du titre d’un traité d’AlKhowarizmi. D’abord exclusivement dévolue au calcul, à l’introduction des outils (nombres négatifs, extraction de racines, nombres complexes) et à l’élaboration des règles d’utilisation de ces objets, l’algèbre a évolué vers ce qu’elle est maintenant,l’étude des structures.
L’étude des nombres entiers remonte à la plus Haute Antiquité, mais c’estl’étude des nombres algébriques, au XIXe siècle, qui a conduit aux notionsd’anneau et de corps.
L’étude de la divisibilité dans les nombres entiers est basée sur la propriété fondamentale suivante : tout nombre entier s’écrit, de manière unique, comme produit de nombres premiers. Comme pour toutes les structures algébriques importantes, la structure d’anneau apparaît dans de nombreuses situations dans lesquelles les éléments ne sont plus des nombres entiers. C’est en particulier le cas des polynômes. Il est donc utile, en étudiant la notion de divisibilité dans des anneaux généraux, de voir si l’analogue de la décomposition en produit de nombres premiers existe : on l’appelle alors décomposition en produit d’éléments irréductibles. Cela conduit à la notion d’anneau factoriel qui généralise les notions d’anneau euclidien ou principal (chapitre II). On étudie ensuite cette décomposition dans le cas des anneaux de polynômes (chapitre III).
L’idée essentielle a été l’introduction de la notion d’idéal : celle-ci permet de généraliser des énoncés portant sur les propriétés usuelles de la divisibilité des nombres entiers. En particulier, la généralisation aux idéaux de la propriété de décomposition en produit d’irréductibles, associée à la notion d’extension de corps, a permis de faire de très grands progrès en arithmétique, notamment avec l’étude des anneaux de Dedekind (chapitre VI).
La structure d’espace vectoriel (sur un corps), qui est l’une des plus fécondes des mathématiques, a des applications très nombreuses, non seulement en mathématique, mais également en physique, chimie, biologie et sciences humaines. C’est la raison pour laquelle l’algèbre linéaire est un domaine fondamental et son étude cruciale.
Si l’on remplace le corps de base par un anneau, la définition de la structure d’espace vectoriel garde tout son sens et, pour la différencier de la notion pré- cédente, on parle de structure de module (sur un anneau) (chapitre IV). Cette structure de module possède beaucoup de propriétés des espaces vectoriels, mais elle est plus subtile et certains résultats fondamentaux des espaces vectoriels ne sont plus valables : par exemple, un module ne possède pas nécessairement une base. Néanmoins, cette structure algébrique est d’une grande richesse – en particulier si l’anneau de base est principal (chapitre V) et relativement à la dualité (chapitre VII) – et intervient naturellement dans de nombreux contextes mathé- matiques ou autres.
On sait que les applications linéaires sont au cœur de l’algèbre linéaire, mais de nombreux problèmes font apparaître des applications de plusieurs variables, linéaires en chaque variable, les applications multilinéaires. Pour en simplifier l’étude, l’on se ramène à des applications linéaires en utilisant le produit tensoriel (chapitre VIII) ou le produit extérieur (chapitre IX). Cela conduit aux notions d’algèbre tensorielle ou algèbre extérieure, qui sont des outils très puissants en algèbre et géométrie.
Comme dans le cas des groupes, la structure d’anneau a donné naissance à une approche algébrique de la géométrie, en particulier des courbes et des surfaces : la géométrie algébrique. Cette démarche « algébrique » a été également appliquée, de manière très efficace, en analyse – groupes topologiques, espaces vectoriels normés, algèbres de Banach. Par le programme couvert, ces deux ouvrages Algèbre I – Groupes, Corps et Théorie de Galois et Algèbre II – Anneaux, Modules et Algèbre Multilinéaire s’adressent aux étudiants de L3 et master et leur contenu fait partie de la culture normale d’un candidat à l’agrégation de mathématiques
La très longue histoire de l’étude des nombres, puis des équations, a permis de remarquer des analogies entre certaines propriétés vérifiées par des objets mathématiques de natures différentes, par exemple les nombres et les polynômes. Cela a conduit les mathématiciens, en particulier au XIXe siècle, à tenter de dé- gager une axiomatique qui rende compte des raisons profondes de ces analogies. Il est alors apparu que ces objets, de natures différentes, possédaient les mêmes structures algébriques, par exemple groupe, espace vectoriel, anneau, etc.
Il devint évident qu’il était plus efficace d’étudier ces structures pour ellesmêmes, indépendamment de leurs réalisations concrètes, puis d’appliquer les ré- sultats obtenus dans les divers domaines que l’on considérait antérieurement.
L’algèbre abstraite était née.
C’est l’étude des équations algébriques qui est à l’origine de la création et du développement de l’algèbre, dont le nom provient du titre d’un traité d’AlKhowarizmi. D’abord exclusivement dévolue au calcul, à l’introduction des outils (nombres négatifs, extraction de racines, nombres complexes) et à l’élaboration des règles d’utilisation de ces objets, l’algèbre a évolué vers ce qu’elle est maintenant,l’étude des structures.
L’étude des nombres entiers remonte à la plus Haute Antiquité, mais c’estl’étude des nombres algébriques, au XIXe siècle, qui a conduit aux notionsd’anneau et de corps.
L’étude de la divisibilité dans les nombres entiers est basée sur la propriété fondamentale suivante : tout nombre entier s’écrit, de manière unique, comme produit de nombres premiers. Comme pour toutes les structures algébriques importantes, la structure d’anneau apparaît dans de nombreuses situations dans lesquelles les éléments ne sont plus des nombres entiers. C’est en particulier le cas des polynômes. Il est donc utile, en étudiant la notion de divisibilité dans des anneaux généraux, de voir si l’analogue de la décomposition en produit de nombres premiers existe : on l’appelle alors décomposition en produit d’éléments irréductibles. Cela conduit à la notion d’anneau factoriel qui généralise les notions d’anneau euclidien ou principal (chapitre II). On étudie ensuite cette décomposition dans le cas des anneaux de polynômes (chapitre III).
L’idée essentielle a été l’introduction de la notion d’idéal : celle-ci permet de généraliser des énoncés portant sur les propriétés usuelles de la divisibilité des nombres entiers. En particulier, la généralisation aux idéaux de la propriété de décomposition en produit d’irréductibles, associée à la notion d’extension de corps, a permis de faire de très grands progrès en arithmétique, notamment avec l’étude des anneaux de Dedekind (chapitre VI).
La structure d’espace vectoriel (sur un corps), qui est l’une des plus fécondes des mathématiques, a des applications très nombreuses, non seulement en mathématique, mais également en physique, chimie, biologie et sciences humaines. C’est la raison pour laquelle l’algèbre linéaire est un domaine fondamental et son étude cruciale.
Si l’on remplace le corps de base par un anneau, la définition de la structure d’espace vectoriel garde tout son sens et, pour la différencier de la notion pré- cédente, on parle de structure de module (sur un anneau) (chapitre IV). Cette structure de module possède beaucoup de propriétés des espaces vectoriels, mais elle est plus subtile et certains résultats fondamentaux des espaces vectoriels ne sont plus valables : par exemple, un module ne possède pas nécessairement une base. Néanmoins, cette structure algébrique est d’une grande richesse – en particulier si l’anneau de base est principal (chapitre V) et relativement à la dualité (chapitre VII) – et intervient naturellement dans de nombreux contextes mathé- matiques ou autres.
On sait que les applications linéaires sont au cœur de l’algèbre linéaire, mais de nombreux problèmes font apparaître des applications de plusieurs variables, linéaires en chaque variable, les applications multilinéaires. Pour en simplifier l’étude, l’on se ramène à des applications linéaires en utilisant le produit tensoriel (chapitre VIII) ou le produit extérieur (chapitre IX). Cela conduit aux notions d’algèbre tensorielle ou algèbre extérieure, qui sont des outils très puissants en algèbre et géométrie.
Comme dans le cas des groupes, la structure d’anneau a donné naissance à une approche algébrique de la géométrie, en particulier des courbes et des surfaces : la géométrie algébrique. Cette démarche « algébrique » a été également appliquée, de manière très efficace, en analyse – groupes topologiques, espaces vectoriels normés, algèbres de Banach. Par le programme couvert, ces deux ouvrages Algèbre I – Groupes, Corps et Théorie de Galois et Algèbre II – Anneaux, Modules et Algèbre Multilinéaire s’adressent aux étudiants de L3 et master et leur contenu fait partie de la culture normale d’un candidat à l’agrégation de mathématiques
