Un très beau chapitre. Tellement beau que nous allons le traiter deux fois ! En effet, il a beaucoup de points communs avec
le suivant. On peut expliquer ces points communs à l’aide de la théorie des idéaux d’un anneau, mais ce n’est pas l’objet
ici.
Par ailleurs l’arithmétique a toujours fasciné les hommes, les mathématiciens comme les profanes. Avec un peu de curiosité et d’observation, n’importe qui peut conjecturer des propriétés qui peuvent s’avérer ardues à démontrer. On peut par
exemple contempler le tableau des derniers chiffres de i^j pour 0 ≤ i ≤ 9 et 1 ≤ j ≤ 5. Une explication viendra plus tard...
Par ailleurs, on peut s’émerveiller devant les nombres premiers, le mystère de leur répartition et la beauté gratuite de
leur étude. Gratuite ? Rien n’est moins sûr ! La découverte d’un algorithme rapide de décomposition en facteurs premiers
mettrait à mal bien des codes secrets et l’arithmétique est devenu un secteur d’étude stratégique.
Parmi les nombreux mathématiciens qui se sont intéressés à l’arithmétique, le nom de Gauss se détache. Toute sa vie
durant il est revenu sur des problèmes d’arithmétique. Mais on peut citer Euclide, Diophante, Fermat, Legendre, Euler et
Ramanujan.
L’arithmétique est une école de rigueur. Mais une fois les mécanismes acquis, ce chapitre devient une récréation.
