Ce chapitre est une introduction à l’une des plus fabuleuses invention de l’homme, celle du calcul différentiel, dans le cas
des fonctions de la variable réelle à valeurs réelles.
L’histoire du calcul différentiel débute en grande partie avec Galilée et Newton qui avaient besoin de nouveaux outils
mathématiques pour développer les notions de vitesse et d’accélération d’un mouvement. Mais la possibilité de calculer
la pente de la tangente à une courbe était essentielle dans d’autres problèmes comme dans ceux d’extremum ou pour
des questions plus appliquées. Newton et Leibniz furent les premiers à tenter de formaliser la notion de dérivée. Ils se
disputèrent la paternité de cette invention mais il semble certain maintenant qu’ils l’ont découvert de manière indépendante
et chacun via des formalismes différents. Comme expliqué dans l’introduction du chapitre 10, la notion de limite n’a été
développé que bien plus tard, au 19ème siècle par Cauchy et Weierstrass aussi la formalisation de la dérivation par Newton
et Leibniz souffrait de nombreuses lacunes. Newton refusa d’ailleurs de publier son travail et les écrits de Leibniz étaient
obscurs et difficiles à comprendre. C’est Lagrange, un siècle plus tard qui introduit le terme de « dérivée » ainsi que la
notation f′.
Après avoir défini ce qu’est une fonction dérivable ainsi que sa dérivée, nous démontrerons les règles de calcul des dérivées
que vous connaissez depuis le lycée. Nous verrons en particulier que la dérivée permet d’approximer une fonction donnée
par une fonction affine . Nous nous intéresserons aux propriétés globales des fonctions dérivables. Le théorème de Rolle
12.9 et celui des accroissements finis 12.10 seront d’un usage constant en analyse. L’inégalité des accroissementsfinis
12.11 qui découle du théorème du même nom est une véritable « machine » à fabriquer des inégalités.
Des accroissements finis découle aussi le caractère k-Lipschitzien des fonctions dérivables, ce qui permet d’appliquer
à celles pour qui k de ]0,1[ le très important théorème du point fixe 3.6. Le théorème de dérivation de labijection
réciproque 12.7 permettra de justifier les démonstrations effectuées dans le chapitre sur les fonction
usuelles. Nous continuerons cette section par une étude des fonctions de classe C n et C ∞ et nous la terminerons par une
introduction aux fonctions convexes. Ce dernier outil servira aussi à construire de nombreuses inégalités.
