Après avoir mis en place les bases d’algèbre linéaire nous allons nous intéresser dans ce chapitre à la notion de dimension.
La dimension d’un espace vectoriel est liée au nombre de paramètres (ou parle aussi de degrés de liberté) qu’il faut
considérer pour pouvoir le décrire. Ainsi pour choisir un couple de R2 il faut choisir une abscisse et une ordonnée. Il y a
deux paramètres (ou deux degrés de liberté). On verra que R2 est de dimension 2. De même, pour choisir un polynôme
aX2 +bX +c de R2[X], il faut choisir a,b et c. On verra là aussi que R2[X] est de dimension 3. Dans certain cas, il faut une
infinité de paramètres pour décrire les vecteurs de l’espace considéré. Par exemple, pour choisir une suite (u_n) ∊ F (R),
il faut choisir chaque terme u0,u1,.... Ou encore pour choisir une fonction f ∊ F (R,R), il faut choisir l’image de chaque
point de R par f . Ces deux espaces sont de dimension infinie.
Même s’il sera utile de se souvenir de ces considérations, la définition précise de la notion de dimension demande quelques
efforts qui nous en éloigne un moment. On peut remarquer que toute base du plan compte exactement deux vecteurs. De
même toute base de l’espace en compte trois. Le plan est de dimension 2 et l’espace de dimension 3. Si on arrive à définir,
pour un espace vectoriel quelconque ce qu’est une base (quand il en a) et qu’on parvient à montrer que deux bases sont
toujours de même cardinal alors on tiendra notre définition. La dimension d’un espace vectoriel est le nombre de vecteurs
que contient une base donnée (quand ce nombre est fini).
Ceci est cohérent avec notre intuition initiale. Si (v1,...,vn) est une base de l’espace vectoriel considéré E, alors choisir
un vecteur dans E revient à choisir ses n composantes sur la base, il y a bien n degrés de liberté.
Nous traiterons les notions de base et de dimension dans les premières sections de ce chapitre. Nous nous occuperons
ensuite à étudier les conséquences de ces notions en algèbre linéaire. En particulier, nous démontrerons deux formules
fondamentales :
– la formule de Grassmann
– la formule du rang qui permettront de beaucoup simplifier les démonstrations de supplémentarité et celles de bijectivité (elles permettront de diviser par deux le travail à faire quand on n’en dispose pas)
– la formule de Grassmann
– la formule du rang qui permettront de beaucoup simplifier les démonstrations de supplémentarité et celles de bijectivité (elles permettront de diviser par deux le travail à faire quand on n’en dispose pas)
