Cet ouvrage a pour objectif de présenter un outil de travail pour les
étudiants orientés vers l’étude des équations aux dérivées partielles, aussi
bien ceux de mastère en mathématiques pures ou appliquées que ceux qui
abordent une thèse dans ce domaine. I1 rassemble des résultats d’analyse
fonctionrielle qui permettent de cornprendre la nature et les propriétés des
fonctions intervenant dans ces équations, ainsi que les contraintes auxquelles
on les soumet pour que ces fonctions soient qualifiées de solutions. Le livre
présente des méthodes modernes de résolution pour une classe de ces problèmes et interprète les solutions obtenues en étudiant leur régularité.
Rappelons que le doniairie daris lequel on envisage une équation aux dé-
rivées partielles est un ouvert de I R N . Cette équation est une relation que
doit vérifier sur R la fonction inconnue uet ses dérivées partielles (cf. le pré-
ambule qui suit). Eri outre, on impose à cette fonction I L et éventuellement à
certaines de ses dérivées (voir dans le préambule les problèmes de Dirichlet
et de Neumann), d’être égales à des fonctions domiécs sur la frontière 30
de l’ouvert considéré : ces relations sont appelées conditions au bord.
La recherche d’une telle fonction fait l’objet de ce qui est appelé un problème aux limites dont la Physique fournit de iiombreiises illiistrations. Si on considère les dérivations au sens habituel à l’intérieur de l’ouvert, l’analyse classique s’avère insuffisante pour la résolution de tels problèmes et cette lacune est confirmée par les résultats expérimentaux. En effet, ceux-ci préseriterit parfois pour solutions des fonctions dont les irrégularités excluent leur appartenance à des espaces de fonctions dérivables au sens classique. En outre la Physique fournit des exemples où le second membre f de l’équation donnée admet des discontinuités.
Considérons l’exemple simple, dans IR, de l’équation différentielle y"+y'y+f=0 où f est discontinue au point t = O. Alors, une solution éventuelle ne peut être de classe C2 sur IR. On peut cependant chercher une solution de classe C1 ayant une dérivée y” presque partout, ou encore une dérivée y” qui est une dérivée de la fonction y’ au sens des distributions. EII supposant, que f soit encore moins régulière, mais qu’elle puisse cependant &re considérée comme une distribution notée [ f ] ,on est ainsi amené à chercher des solutions qui sont des distributions [u], ce qui veut dire qu’alors, pour toute fonction p indéfiniment différeiitiable dans IR à support compact, on a ( [ u ] ,p” - p’+ ‘p) = ( [ f i , 9). Ces solutions, que 1,011peut envisager, même lorsque f est régulière, sont dites aussi des solutions faibles de l’équation.
Tout, cela suggère, en substituant à la dérivabilité liabituelle la dérivabilité au seils des distributions, le concept de solution faible pour les EDP générales et conduit à l’étude de certains espaces de fonctions dont les dé- rivées au sens des distributions s’identifient à des fonctions de puissance p-ièmes sonimables. Apparaissent ainsi les espaces de Sobolev Wm’P (O) qui ont la propriété d’être des espaces normés complcts, auxquels s’appliquent donc les théorèmes classiques d’analyse forictioririelle.
Daris le cas où des conditions au bord sont à satisfaire, les fonctions de ces espaces n’étant définies que dans l’ouvert, il apparaît également la nécessité de lcs prolonger & la frontière de [ I . L’existence de tels prolorigements dépendant a priori de la régularité de cette frontière, on étudie plus particulièrement l’espace W m , p ( (1) quand l’ouvert R admet pour frontière une variété diff6reritiable ou différentiable par morceaux. Cela permet , pour les fonctions de ces espaces, d’interpréter, en accord avec la Physique, les conditions au bord dans les équations proposées.
Ainsi, dans de noiribrcuses situations, la grande souplesse de la dérivation au sens des distributions arnèrie à énoncer les problèmes aux limites sous des formes équivalentes, plus favorables à l’établissement de théorèmes d’existence et d’unicité.
Bien entendu, tous les résultats obtenus réclament des préliminaires. Ils concernent les espaces fonctionnels utilisables, tout particulièrenient les espaces normés, la complétude, les densités, la généralisation de la notion de fonction et l’int6gration. C’est l’objet du chapitre 1.
La recherche d’une telle fonction fait l’objet de ce qui est appelé un problème aux limites dont la Physique fournit de iiombreiises illiistrations. Si on considère les dérivations au sens habituel à l’intérieur de l’ouvert, l’analyse classique s’avère insuffisante pour la résolution de tels problèmes et cette lacune est confirmée par les résultats expérimentaux. En effet, ceux-ci préseriterit parfois pour solutions des fonctions dont les irrégularités excluent leur appartenance à des espaces de fonctions dérivables au sens classique. En outre la Physique fournit des exemples où le second membre f de l’équation donnée admet des discontinuités.
Considérons l’exemple simple, dans IR, de l’équation différentielle y"+y'y+f=0 où f est discontinue au point t = O. Alors, une solution éventuelle ne peut être de classe C2 sur IR. On peut cependant chercher une solution de classe C1 ayant une dérivée y” presque partout, ou encore une dérivée y” qui est une dérivée de la fonction y’ au sens des distributions. EII supposant, que f soit encore moins régulière, mais qu’elle puisse cependant &re considérée comme une distribution notée [ f ] ,on est ainsi amené à chercher des solutions qui sont des distributions [u], ce qui veut dire qu’alors, pour toute fonction p indéfiniment différeiitiable dans IR à support compact, on a ( [ u ] ,p” - p’+ ‘p) = ( [ f i , 9). Ces solutions, que 1,011peut envisager, même lorsque f est régulière, sont dites aussi des solutions faibles de l’équation.
Tout, cela suggère, en substituant à la dérivabilité liabituelle la dérivabilité au seils des distributions, le concept de solution faible pour les EDP générales et conduit à l’étude de certains espaces de fonctions dont les dé- rivées au sens des distributions s’identifient à des fonctions de puissance p-ièmes sonimables. Apparaissent ainsi les espaces de Sobolev Wm’P (O) qui ont la propriété d’être des espaces normés complcts, auxquels s’appliquent donc les théorèmes classiques d’analyse forictioririelle.
Daris le cas où des conditions au bord sont à satisfaire, les fonctions de ces espaces n’étant définies que dans l’ouvert, il apparaît également la nécessité de lcs prolonger & la frontière de [ I . L’existence de tels prolorigements dépendant a priori de la régularité de cette frontière, on étudie plus particulièrement l’espace W m , p ( (1) quand l’ouvert R admet pour frontière une variété diff6reritiable ou différentiable par morceaux. Cela permet , pour les fonctions de ces espaces, d’interpréter, en accord avec la Physique, les conditions au bord dans les équations proposées.
Ainsi, dans de noiribrcuses situations, la grande souplesse de la dérivation au sens des distributions arnèrie à énoncer les problèmes aux limites sous des formes équivalentes, plus favorables à l’établissement de théorèmes d’existence et d’unicité.
Bien entendu, tous les résultats obtenus réclament des préliminaires. Ils concernent les espaces fonctionnels utilisables, tout particulièrenient les espaces normés, la complétude, les densités, la généralisation de la notion de fonction et l’int6gration. C’est l’objet du chapitre 1.
