La géométrie prédominait dans les mathématiques grecques et il fallut attendre Descartes au 17e siècle pour faire le lien,
grâce à la notion de repère, entre les notions géométriques :
– de points du plan ou de l’espace
– de courbes et celles algébriques
– de couples ou de triplets de réels
– d’équations.
Cette approche s’avéra féconde à la fois pour les géomètres et les analystes. Elle offrit aux premiers toute la puissance
de l’analyse pour traîter des problèmes de géométrie et au second les représentations de la géométrie pour visualiser et
énoncer les phénomènes de l’analyse.
La généralisation des notions géométriques du plan R2 et de l’espace R3 a des espaces de dimension plus grande n’a pas été
immédiate. Il manquait le formalisme pour pouvoir aborder ce problème. C’est le mathématicien allemand autodidacte
Hermann Grassmann qui au 19e siècle esquissa les notions d’espace vectoriel et de dimension. Son travail était d’un
abord difficile et c’est grâce au mathématicien Italien Giuseppe Peano que ces concepts se précisèrent et prirent leur
forme définitive.
Les mathématiciens disposèrent alors d’outils leur permettant d’aborder des problèmes de géométrie en dimension quelconque. Cependant c’est l’analyse que va donner aux espaces vectoriels toute leur importance.
Á la fin du 19e siècle et au début du 20e siècle, les mathématiciens allemands étudient des espaces de fonctions et créent
l’analyse fonctionnelle. Les espaces étudiés ont des structures d’espace vectoriel. Le mathématicien polonais Stefan Banach écrira, dans sa thèse, que plutôt que d’étudier des problèmes particuliers et de démontrer isolément leurs propriétés,
une meilleure stratégie est de prouver ces propriétés pour des ensembles généraux et pour lesquels on a postulé des
propriétés, puis de montrer que ces axiomes sont vérifiés par les problèmes particuliers.
Cette approche fonde en quelque sorte les mathématiques modernes. On introduit et étudie dans un premier temps des
structures (groupe, anneau, corps, espace vectoriel,...) puis on vérifie à quelle catégorie se ratache un exemple particulier
donné. Il hérite alors de toutes les propriétés de la catégorie à laquelle il appartient.
Les premiers pas en algèbre linéaire sont en général difficiles et rebutants. La difficulté ne tient pas tellement, contrairement à ce qu’on pourrait penser, à la difficulté des raisonnements mathématiques ou à l’abstraction des notions utilisées.
Elle réside plutôt dans le caractère nouveau de ces raisonnements et de ces notions. Un conseil, ne vous laissez pas impressionner, ne vous braquez pas. Le temps et le travail aidant, vous allez vite comprendre dans quel nouvel endroit vous
avez mis les pieds et passé la phase de découverte, vous allez vite vous sentir en sécurité. Les chapitres 2 et 3 de géométrie
dans le plan et dans l’espace vont vous être d’un recourt essentiel car ils vous aideront à vous forger des représentations
et ils guideront votre intuition.
