Ce chapitre est réservé aux élèves de MPSI. On va y définir le déterminant en toute généralité. Il va nous falloir au
préalable étudier le groupe symétrique Sn. Il est formé de toutes les permutations d’un ensemble E à n éléments et admet
comme loi interne la composition. Ce groupe est très important en mathématiques. Ainsi, c’est en étudiant le groupe des
permutations des racines d’un polynôme que Galois est parvenu à prouver la non résolubilité par radicaux des équations
polynomiales de degré ≥ 5. La mathématicien Arthur Cayley a par ailleurs prouvé que tout groupe fini de cardinal n est
isomorphe à un sous-groupe de Sn (son résultat est en fait plus général car il s’étend aux groupes de cardinal infini).
La construction du déterminant est basée sur les notions que nous allons introduire quand au groupe symétrique. On
explicitera ensuite, comme dans le cas des déterminants de taille 2 et 3 traités dans le chapitre précédent, ce qu’est le
déterminant d’un endomorphisme et d’une famille de vecteurs.
Le développement de la notion de déterminant est fortement lié aux tentatives effectuées par les mathématiciens pour résoudre les systèmes linéaires à n équations et n inconnues. En 1545, Cardan introduit des déterminants de taille 2 pour résoudre des systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues. En 1678, Leibniz fait de même mais pour n = 3 et en 1748, MacLaurin résout le problème quand n = 4. En 1750, Cramer établit des formules pour le cas général mais ne sait pas les démontrer (voir le théorème 26.19 ). En 1764, Bezout reprend les travaux de Cramer et met en place les formules de développement suivant une rangée (voir le théorème 26.24 ). Elles permettent de formulerdes relations de récurrence pour le calcul des déterminants. Dans les « Disquisitiones arithmeticae », Gauss donne au déterminant sa dénommination actuelle. Lagrange comprend le lien du déterminant avec la notion de volume. Il faut attendre le milieu du 19e siècle pour que les déterminants soient utilisés, par Sylvester et Cayley dans le cadre matriciel. Ce dernier est à l’origine de la notation utilisée pour les écrire avec des grandes barres verticales
Le développement de la notion de déterminant est fortement lié aux tentatives effectuées par les mathématiciens pour résoudre les systèmes linéaires à n équations et n inconnues. En 1545, Cardan introduit des déterminants de taille 2 pour résoudre des systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues. En 1678, Leibniz fait de même mais pour n = 3 et en 1748, MacLaurin résout le problème quand n = 4. En 1750, Cramer établit des formules pour le cas général mais ne sait pas les démontrer (voir le théorème 26.19 ). En 1764, Bezout reprend les travaux de Cramer et met en place les formules de développement suivant une rangée (voir le théorème 26.24 ). Elles permettent de formulerdes relations de récurrence pour le calcul des déterminants. Dans les « Disquisitiones arithmeticae », Gauss donne au déterminant sa dénommination actuelle. Lagrange comprend le lien du déterminant avec la notion de volume. Il faut attendre le milieu du 19e siècle pour que les déterminants soient utilisés, par Sylvester et Cayley dans le cadre matriciel. Ce dernier est à l’origine de la notation utilisée pour les écrire avec des grandes barres verticales
