Les mathématiciens se sont intéressés très tôt aux problèmes de calcul d’aires et de volumes. Ainsi Eudoxe de Cnide, mathématicien grec du 4e siècle avant note ère, parvient à calculer le volume d’une pyramide. Cent ans plus tard, Archimède
généralise son procédé et invente la méthode d’exhaustion. Il s’agit d’approximer l’aire ou le volume à déterminer par des
aires ou des volumes élémentaires, par défaut et par excès. La notion de limite est alors encore bien loin d’être découverte
et le calcul est généralement terminé par un raisonnement par l’absurde. La « révélation » est venue de Newton et de
Leibnitz quand ils inventèrent le calcul infinitésimal : l’opération de l’intégration est une opération inverse de celle de
la dérivation et pour calculer une aire, il suffit de calculer une primitive. C’est « le théorème fondamental de l’analyse »
13.29 . Il faudra attendre néanmoins le 19e siècle pour que la notion d’intégrale soit bien formalisée grâce auxtravaux
de Cauchy et surtout à ceux de Riemann. Celui-ci s’intéresse pour une fonction f donnée sur un segment [a,b] à
approcher l’aire A sous le graphe de f par les aires Σ− et Σ+ de deux familles de rectangles qui approchent par défaut et
par excès A comme dans les dessins ci-dessous.
