La boucle est bouclée, tout finit par se mettre en place. Souvenez-vous, au collège vous avez fait de la géométrie avec
des points, des droites des cercles, etc et des transformations. Plus tard, au lycée vous avez travaillé avec les vecteurs.
Ce n’était pas commode. Souvenez-vous : un vecteur $\vec{u}$ était défini par son origine A et son extrémité B ce qui vous
premettait d’écrire $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ Mais vous pouviez avoir aussi $\vec{u}=\overrightarrow{CD}$ . C’était un peu déroutant mais vous vous y êtes fait.
Vous ne le saviez pas , mais vous travailliez alors avec des représentants de classes d’équivalences de bipoints. C’était les
fameux bipoints équipollents qui semaient la terreur dans les classes de lycée dans les années 70/80. L’inconvénient de
cette démarche c’est que les axiômes n’apparaissaient pas clairement. Si l’on admettait clairement l’existence de points,
de droites, de plans etc., on admettait les propriétés de conservation des isométries. Et puis quoi d’autre ? les axiômes
d’incidence ? l’existence des milieux ? et puis ? et puis ? Tout ça était un peu flou.
Cette année, vous avez suivi la démarche inverse. Vous avez défini les vecteurs. Ce sont des éléments d’un espace vectoriel.
Ils ne ressemblent pas toujours aux vecteurs d’antan, certains sont des polynômes, d’autres sont des fonctions, plus ou
moins dérivables, mais bon gré mal gré on peut calculer avec eux comme avec les bons vieux vecteurs d’autrefois.
Mais les points ? C’est quoi un point ?
Eh bien, un point, c’est un vecteur comme un autre !
Par exemple, si A et B sont deux points d’un espace vectoriel - c’est-à-dire formellement deux vecteurs - le vecteur −→ AB
c’est la différence des deux points : B −A.
C’est un peu déroutant au départ, mais on retrouve toutes les propriétés de la géométrie plane dans l’espace vectoriel R2
par exemple.
