Au 16e siècle, les italiens Niccolo Fontana Tartaglia et Gerolamo Cardano s’aperçoivent, alors qu’ils cherchent à exprimer les racines de certains polynômes du troisième et du quatrème degré, qu’il est nécessaire d’introduire des racines de
nombres négatifs. Ces nouveaux nombres ne sont pas compris tout de suite et leur manipulation conduit à des absurdités.
Au 17e siècle, René Descartes propose, tant leur existence est contestable, de les appeler nombres imaginaires. Il faut
attendre la fin du 17e siècle et les travaux de Caspar Wessel pour que la construction des nombres complexes soit bien formalisée et pour comprendre leur interprétation géométrique. Quelques années plus tard, Carl Friedrich Gauss redécouvre
et popularise les travaux de Wessel. Il démontre en particulier le théorème fondamental de l’algèbre (voir théorème
21.24) qui dit qu’un polynôme à coefficients complexes de degré n admet n racines comptées avec leur multiplicité.Ce
chapitre reprend et approfondit les notions apprises au lycée quant aux nombres complexes. On verra en particulier
comment on peut les utiliser pour trouver les racines de certains polynômes à coefficients réels ou complexes, comment
ils servent à résoudre des problèmes de géométrie plane ainsi que des problèmes d’analyse réelle comme celui de la
primitivation de produits de fonctions trigonométriques ou la résolution d’équations trigonométriques. Ce chapitre servira
aussi d’introduction à la notion de structure algébrique et plus particulièrement à celle de groupe et celle de corps. Les
groupes sont des objets fondamentaux et vous verrez qu’ils sont omniprésents dans le cours de mathématiques durant vos
deux années en classe préparatoire.
