On va généraliser dans ce chapitre la notion de produit scalaire étudiée dans les chapitres 2 et 3 aux espaces vectoriels. Cela
permettra d’étendre la notion de vecteurs orthogonaux et les notions afférentes (norme, base orthonormale, théorème de
Pythagore, projections et symétries orthogonales...) à certains espaces vectoriels de fonctions ou de matrices par exemple.
Un des prolongements importants de ce chapitre sera celui consacré aux séries de Fourier en seconde année et qui formera
un magnifique exemple d’illustration de la puissance de l’algèbre mise au service de l’analyse.
Nous étudierons dans la seconde moitié de ce chapitre les endomorphismes d’un espace euclidien qui préservent le produit scalaire, ou autrement dit les isométries. Nous verrons que les isométries d’un espace euclidien E donné forment un groupe appelé groupe orthogonal et nous étudierons complètement ce groupe dans le cas où E = R2 et E = R3. Nous ferons le lien entre les matrices et ces endomorphismes remarquables et nous introduirons la notion de matrice orthogonale.
Nous étudierons dans la seconde moitié de ce chapitre les endomorphismes d’un espace euclidien qui préservent le produit scalaire, ou autrement dit les isométries. Nous verrons que les isométries d’un espace euclidien E donné forment un groupe appelé groupe orthogonal et nous étudierons complètement ce groupe dans le cas où E = R2 et E = R3. Nous ferons le lien entre les matrices et ces endomorphismes remarquables et nous introduirons la notion de matrice orthogonale.
