Ce chapitre s’inscrit dans la continuité du chapitre 6 qu’il parachève.
Les différentes propriétés des courbes planes qu’on a étudié jusqu’ici : présence de point stationnaire, de branche infinie, d’asymptotes sont préservées si on applique à notre courbe une application
affine (c’est-à-dire une translation, une homothétie, une rotation, une
affinité,...). On dit que ce sont des propriétés affines ou géométriques.
Ce n’est pas le cas par exemple de la longueur de la courbe. Ainsi,
dans la proposition 7.10 on a montré que l’image d’un
cercle par une affinité orthogonale est une ellipse. Cette ellipse n’a
évidemment pas le même périmètre que le cercle initial. La longueur
n’est pas une propriété affine. Par contre, si on applique une isométrie
à notre courbe, la courbe image sera de même longeur que la courbe
initiale. On dit que la longueur est une propriété métrique et ce sont
sur ces propriétés que nous allons nous focaliser ici.
Nous définirons en particulier ce qu’est la longueur d’un arc paramé-
tré. Afin d’éviter les arcs trop pathologiques comme le flocon de Von Koch, nous nous limiterons aux arcs de classe C 1.
Puis nous définirons la courbure d’un arc. Cette quantité peut être vue de différentes façons. Si un mobile M parcourt la
courbe à vitesse constante égale à 1, on verra que la courbure en M est égale, en valeur absolue, à la norme du vecteur
accélération. On verra aussi que la courbure en M est l’inverse du rayon du cercle qui épouse la courbe au plus près au
voisinage de M 1. On comprend que la courbure permet de mesurer le virage effectuer par notre mobile : plus la courbure
est grande plus le virage est serré.
