La notion de groupe a été découverte dans la première moitié du 19e siècle par le jeune mathématicien prodige Évariste
Galois. Il cherchait alors à prouver que les équations polynômiales de degré Ê 5 à coefficients complexes ne pouvaient
être résolues par radicaux, ce qui signifie que leurs racines ne peuvent être écrites au moyen des opérations usuelles. Pour
ce faire, il s’intéressa à un groupe relié aux racines de l’équation considérée. Son génie consista à comprendre que les
difficultés pour résoudre l’équation ne provenaient pas de son degré mais des propriétés mathématiques de ce groupe.
Les mathématiciens ont compris depuis que les groupes interviennent dans de nombreux domaines. L’ensemble des isométries de l’espace ou du plan est un groupe appelée groupe orthogonal, voir le chapitre ??. L’ensemble des isométries
préservant un objet donné (un polygone régulier, un solide platonicien, etc...) a une structure de groupe. L’ensemble des
permutations σn d’un ensemble fini est un groupe qui fut étudié par Cauchy et Cayley à la fin du 19e siècle. Le chapitre
26 lui est consacré. Le groupe découvert par Galois est d’ailleurs un sous-groupe de ce groupe. L’ensemble des transformations qui, en relativité restreinte, permettent de changer de référentiel galiléen tout en préservant les lois de la physique
et la vitesse de la lumière forment un groupe appelé groupe de Lorenz. En chimie, les symétries des molécules permettent
de leur associer des groupes qui aident à comprendre mieux leurs propriétés. Plus concrètement encore, l’ensemble des
manipulations qu’on peut effectuer sur un Rubik’s cube a lui aussi une structure de groupe. L’étude ce de groupe permet
de mettre en place des stratégies gagnantes pour le reconstituer.
L’objet de ce chapitre, peu ambitieux, est d’introduire la notion de groupe ainsi que le vocabulaire attenant. Nous le
terminerons par l’étude de deux autres structures, celles d’anneaux et de corps, qui sont elles aussi omniprésentes en
mathématiques.
