Nous allons définir dans ce chapitre et le suivant une des notions les plus fondamentales en analyse, celle de limite.
Si on se pose les questions suivantes :
– Qu’est ce qu’une dérivée ?
– Qu’est ce qu’une intégrale ?
– Qu’est ce qu’une somme infinie ?
La réponse est la même : une limite.
Bien que les mathématiciens utilisent ces différents objets depuis la renaissance, ce n’est que vers la fin du 18e siècle et le début du 19e siècle que la notion de limite, grâce à D’Alembert et à Cauchy, commence à être formalisée. Le cours d’analyse de Cauchy, alors qu’il professait à l’École Polytechnique, allait d’ailleurs devenir une référence pour tout travail en analyse au 19e siècle. Malgré la grande rigueur de son contenu, il subsistait des lacunes, comme une preuve, fausse, que la limite d’une série de fonctions continues est continue. C’est le mathématicien allemand Karl Weierstrass vers 1860 et ses élèves qui formalisèrent définitivement la notion de limite et parachevèrent l’œuvre de Cauchy. La forme actuelle de la définition d’une limite est exactement celle donnée par Weierstrass.
Il vous faudra prendre le temps dans ce chapitre de bien comprendre les nouvelles notions, de faire et refaire les démonstrations. Il fallut plusieurs siècles pour que les mathématiciens formalisent ces concepts correctement. Il est alors naturel que cela vous demande un travail approfondi. Vous êtes en train de préparer les fondations sur lesquelles seront construites toute votre connaissance en analyse
– Qu’est ce qu’une dérivée ?
– Qu’est ce qu’une intégrale ?
– Qu’est ce qu’une somme infinie ?
La réponse est la même : une limite.
Bien que les mathématiciens utilisent ces différents objets depuis la renaissance, ce n’est que vers la fin du 18e siècle et le début du 19e siècle que la notion de limite, grâce à D’Alembert et à Cauchy, commence à être formalisée. Le cours d’analyse de Cauchy, alors qu’il professait à l’École Polytechnique, allait d’ailleurs devenir une référence pour tout travail en analyse au 19e siècle. Malgré la grande rigueur de son contenu, il subsistait des lacunes, comme une preuve, fausse, que la limite d’une série de fonctions continues est continue. C’est le mathématicien allemand Karl Weierstrass vers 1860 et ses élèves qui formalisèrent définitivement la notion de limite et parachevèrent l’œuvre de Cauchy. La forme actuelle de la définition d’une limite est exactement celle donnée par Weierstrass.
Il vous faudra prendre le temps dans ce chapitre de bien comprendre les nouvelles notions, de faire et refaire les démonstrations. Il fallut plusieurs siècles pour que les mathématiciens formalisent ces concepts correctement. Il est alors naturel que cela vous demande un travail approfondi. Vous êtes en train de préparer les fondations sur lesquelles seront construites toute votre connaissance en analyse
