La théorie de l’intégration s’est développée à partir du calcul des aires et des
volumes. L’aire d’un rectangle est égale au produit a·b des longueurs des côtés, et,
l’aire d’une réunion de deux parties disjointes étant égale à la somme des aires,
l’aire d’un triangle est égale à la demi-somme du produit de la longueur d’un
côté par la longueur de la hauteur correspondante. Ensuite l’aire d’un polygone
s’obtient en le décomposant en une réunion disjointe de triangles. Pour mesurer
l’aire d’un disque de rayon r on le considère comme une réunion d’une suite
infinie croissante de polygones, et c’est ainsi qu’on montre que son aire est égale
à πr2 (r étant le rayon, et le nombre π étant défini comme le demi-périmètre
d’un cercle de rayon 1). Une question se pose alors : peut-on mesurer l’aire d’une
partie quelconque du plan ? Nous devons préciser la question : peut-on attribuer
à chaque partie A du plan un nombre µ(A), l’aire de A, nombre réel positif ou
nul, ou +∞ ? Cette application µ doit posséder les propriétés qu’on attend de la
mesure des aires :
(1) Si A est un rectangle dont les longueurs des côtés sont égales à a et b, alors µ(A) = a · b.
(2) Si $\left\{ {{A}_{n}} \right\}$ est une suite de parties disjointes deux à deux, alors $\mu \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty }{{{A}_{n}}} \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\mu \left( {{A}_{n}} \right)}$
(3) Si A et B sont deux parties « égales », c’est-à-dire s’il existe une isométrie qui transforme A en B, alors µ(A) = µ(B). La réponse à cette question est négative, comme cela a été démontré par Vitali. Ceci conduit à modifier le problème posé. On n’exige plus de pouvoir mesurer l’aire de toute partie du plan, mais seulement celle d’une famille M contenant les rectangles et stable par réunion dénombrable. Les ensembles de la famille M sont appelés ensembles mesurables. Ainsi posé le problème admet une solution. Avant d’étudier la mesure des aires, nous considérerons la mesure de Lebesgue qui est la solution d’un problème analogue posé en dimension un. L’étape suivante est la construction de l’intégrale par approximation à partir de l’intégrale de fonctions étagées. Dans le cas de l’intégrale de Riemann, les fonctions étagées considérées sont les fonctions en escalier. En revanche, dans le cas de l’intégrale de Lebesgue, ce sont des fonctions étagées d’un type plus général : les fonctions mesurables étagées. Cette généralisation est essentielle car elle conduit aux énoncés fondamentaux de la théorie de l’intégration comme le théorème de convergence dominée de Lebesgue et celui de Riesz-Fischer, qui n’ont pas d’analogue dans le cas de l’intégrale de Riemann.
La présentation que nous avons choisie des éléments de base de la théorie de la mesure et de l’intégrale est proche de celle de l’excellent ouvrage de W. Rudin, Analyse réelle et complexe. Le chapitre I est une présentation ensembliste aboutissant aux théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée de Lebesgue. C’est au chapitre II qu’il est montré qu’il existe une mesure sur la droite réelle pour laquelle la mesure d’un intervalle est égale à sa longueur. Les espaces fonctionnels Lp sont étudiés au chapitre III. Le théorème de Riesz-Fischer dit que ce sont des espaces normés complets, et ce résultat est fondamental pour les applications à l’analyse fonctionnelle. Le théorème de Fubini que nous voyons au chapitre IV permet le calcul des intégrales multiples considérées au chapitre V.
Dans la présentation fonctionnelle de la théorie de l’intégration, la définition de base est la mesure de Radon qui est une forme linéaire positive sur l’espace des fonctions continues à support compact. Le théorème de Riesz permet de relier les deux points de vue : ensembliste et fonctionnel. Nous présentons cette relation au chapitre VI dans le cas particulier de la droite réelle.
Nous avons particulièrement développé le chapitre VII sur les fonctions définies par des intégrales, car nous estimons que son contenu est important par ses applications à l’analyse. Nous étudions en particulier le comportement asymptotique d’intégrales par la méthode de Laplace et par celle de la phase stationnaire dans le cas des intégrales simples.
Les trois chapitres suivants, VIII, IX et X, contiennent les éléments de base de l’analyse harmonique en une variable : convolution sur le groupe additif des nombres réels et analyse de Fourier.
Le calcul intégral est un outil essentiel de l’analyse mathématique et du calcul des probabilités. Nous l’avons illustré en choisissant sept applications qui sont présentées dans le dernier chapitre. L’équation de la chaleur est importante historiquement. Ce sont en effet les travaux de Fourier sur cette équation qui sont à l’origine de l’analyse qui porte son nom. Les polynômes orthogonaux interviennent dans de nombreuses questions de physique mathématique, et leur étude fait appel à des domaines variés des mathématiques : algèbre linéaire, analyse complexe, théorie spectrale, analyse combinatoire. La solution du problème de l’isopérimètre est une belle application de l’analyse de Fourier à la géométrie.
Nous ne parlons pas dans ce livre des relations qui existent entre le calcul intégral et les notions de base du calcul des probabilités. Nous les avons cependant illustrées dans deux des compléments du chapitre XI : le jeu de pile ou face et la mesure de Lebesgue, et le théorème de la limite centrale.
Chacun des chapitres est suivi d’exercices. Certains d’entre eux constituent des compléments présentés sous forme de problèmes. La bibliographie est loin d’être exhaustive. Nous avons seulement indiqué quelques ouvrages classiques de la théorie de la mesure et de l’intégration. En plusieurs occasions, nous utilisons des résultats d’analyse fonctionnelle pour lesquels nous faisons référence au livre de C. Albert, Topologie, et aussi à celui de V. Avanissian, Initiation à l’analyse fonctionnelle. Les termes nouveaux sont définis dans le texte à leur première occurence et sont alors écrits en caractères italiques. L’index placé à la fin du livre permet de retrouver cette première occurence.
Ce livre s’adresse aux étudiants de licence de mathématiques. Il a été rédigé à partir des notes d’un cours donné à la faculté des sciences de Tunis, et de celles d’un cours donné à l’université Louis Pasteur de Strasbourg. Je tiens à remercier Daniel Guin de m’avoir encouragé à tirer de ces notes la matière de ce livre.
(1) Si A est un rectangle dont les longueurs des côtés sont égales à a et b, alors µ(A) = a · b.
(2) Si $\left\{ {{A}_{n}} \right\}$ est une suite de parties disjointes deux à deux, alors $\mu \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty }{{{A}_{n}}} \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\mu \left( {{A}_{n}} \right)}$
(3) Si A et B sont deux parties « égales », c’est-à-dire s’il existe une isométrie qui transforme A en B, alors µ(A) = µ(B). La réponse à cette question est négative, comme cela a été démontré par Vitali. Ceci conduit à modifier le problème posé. On n’exige plus de pouvoir mesurer l’aire de toute partie du plan, mais seulement celle d’une famille M contenant les rectangles et stable par réunion dénombrable. Les ensembles de la famille M sont appelés ensembles mesurables. Ainsi posé le problème admet une solution. Avant d’étudier la mesure des aires, nous considérerons la mesure de Lebesgue qui est la solution d’un problème analogue posé en dimension un. L’étape suivante est la construction de l’intégrale par approximation à partir de l’intégrale de fonctions étagées. Dans le cas de l’intégrale de Riemann, les fonctions étagées considérées sont les fonctions en escalier. En revanche, dans le cas de l’intégrale de Lebesgue, ce sont des fonctions étagées d’un type plus général : les fonctions mesurables étagées. Cette généralisation est essentielle car elle conduit aux énoncés fondamentaux de la théorie de l’intégration comme le théorème de convergence dominée de Lebesgue et celui de Riesz-Fischer, qui n’ont pas d’analogue dans le cas de l’intégrale de Riemann.
La présentation que nous avons choisie des éléments de base de la théorie de la mesure et de l’intégrale est proche de celle de l’excellent ouvrage de W. Rudin, Analyse réelle et complexe. Le chapitre I est une présentation ensembliste aboutissant aux théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée de Lebesgue. C’est au chapitre II qu’il est montré qu’il existe une mesure sur la droite réelle pour laquelle la mesure d’un intervalle est égale à sa longueur. Les espaces fonctionnels Lp sont étudiés au chapitre III. Le théorème de Riesz-Fischer dit que ce sont des espaces normés complets, et ce résultat est fondamental pour les applications à l’analyse fonctionnelle. Le théorème de Fubini que nous voyons au chapitre IV permet le calcul des intégrales multiples considérées au chapitre V.
Dans la présentation fonctionnelle de la théorie de l’intégration, la définition de base est la mesure de Radon qui est une forme linéaire positive sur l’espace des fonctions continues à support compact. Le théorème de Riesz permet de relier les deux points de vue : ensembliste et fonctionnel. Nous présentons cette relation au chapitre VI dans le cas particulier de la droite réelle.
Nous avons particulièrement développé le chapitre VII sur les fonctions définies par des intégrales, car nous estimons que son contenu est important par ses applications à l’analyse. Nous étudions en particulier le comportement asymptotique d’intégrales par la méthode de Laplace et par celle de la phase stationnaire dans le cas des intégrales simples.
Les trois chapitres suivants, VIII, IX et X, contiennent les éléments de base de l’analyse harmonique en une variable : convolution sur le groupe additif des nombres réels et analyse de Fourier.
Le calcul intégral est un outil essentiel de l’analyse mathématique et du calcul des probabilités. Nous l’avons illustré en choisissant sept applications qui sont présentées dans le dernier chapitre. L’équation de la chaleur est importante historiquement. Ce sont en effet les travaux de Fourier sur cette équation qui sont à l’origine de l’analyse qui porte son nom. Les polynômes orthogonaux interviennent dans de nombreuses questions de physique mathématique, et leur étude fait appel à des domaines variés des mathématiques : algèbre linéaire, analyse complexe, théorie spectrale, analyse combinatoire. La solution du problème de l’isopérimètre est une belle application de l’analyse de Fourier à la géométrie.
Nous ne parlons pas dans ce livre des relations qui existent entre le calcul intégral et les notions de base du calcul des probabilités. Nous les avons cependant illustrées dans deux des compléments du chapitre XI : le jeu de pile ou face et la mesure de Lebesgue, et le théorème de la limite centrale.
Chacun des chapitres est suivi d’exercices. Certains d’entre eux constituent des compléments présentés sous forme de problèmes. La bibliographie est loin d’être exhaustive. Nous avons seulement indiqué quelques ouvrages classiques de la théorie de la mesure et de l’intégration. En plusieurs occasions, nous utilisons des résultats d’analyse fonctionnelle pour lesquels nous faisons référence au livre de C. Albert, Topologie, et aussi à celui de V. Avanissian, Initiation à l’analyse fonctionnelle. Les termes nouveaux sont définis dans le texte à leur première occurence et sont alors écrits en caractères italiques. L’index placé à la fin du livre permet de retrouver cette première occurence.
Ce livre s’adresse aux étudiants de licence de mathématiques. Il a été rédigé à partir des notes d’un cours donné à la faculté des sciences de Tunis, et de celles d’un cours donné à l’université Louis Pasteur de Strasbourg. Je tiens à remercier Daniel Guin de m’avoir encouragé à tirer de ces notes la matière de ce livre.
