Le contexte et le plan général de l’ouvrage ont été donnés dans l’avant-propos
du tome 1. Le tome 1 est composé de deux parties (I et II). La partie I rappelle les
notions de topologie différentielle indispensables à une lecture autonome des deux
tomes de l’ouvrage. La partie II est un cours classique sur la théorie qualitative des
équations différentielles, basé sur le théorème de Cauchy d’existence et d’unicité
locales des trajectoires de ces équations et sur la notion centrale de flot d’un
champ de vecteurs. Précisons le plan du tome 2.
Dans un chapitre d’introduction, on donne quelques définitions de base ainsi que des exemples de systèmes dynamiques. Dans le deuxième chapitre, on introduit quelques idées importantes dues à René Thom, à savoir la notion de généricité déjà mentionnée et son rapport avec celle de la transversalité. Ces questions sont développées, par exemple le lemme fondamental de transversalité puis les différentes versions du théorème de transversalité de Thom et la notion de singularité. Pour donner au lecteur les outils dont il a besoin, on a inclu quelques précisions sur les espaces fonctionnels (y compris une preuve de la convergence en classe Ck sur les compacts) et sur les fibrés différentiels. Le troisième chapitre est consacré à l’étude locale des points singuliers et des orbites périodiques hyperboliques. Après la présentation de la classification des dynamiques linéaires hyperboliques, on s’est contenté de donner une idée de la preuve de l’existence des variétés invariantes. En se basant sur ce résultat d’existence, on donne une preuve assez complète du λ-Lemma et de l’existence de feuilletages locaux invariants. Ces résultats permettent de proposer une présentation géométrique du théorème de linéarisation de Hartman-Grobman, dans le même esprit que dans [52], texte qui nous a servi de guide pour ce chapitre, et pour une partie du chapitre suivant. Le quatrième chapitre est consacré à la notion de stabilité structurelle qui, localement, se réduit à la stabilité structurelle des points singuliers hyperboliques établie dans le troisième chapitre. On se contente d’étudier de façon approfondie quelques exemples importants de systèmes structurellement stables : les champs de vecteurs de Morse-Smale sur les surfaces de genre 0 et la dynamique de type fer à cheval de Smale pour un difféomorphisme en dimension 2, incluant évidemment la preuve de l’existence de ce type de dynamique au voisinage des points homoclines transverses.
Les deux chapitres suivants (5 et 6) sont consacrés à une présentation de la théorie des bifurcations, avec surtout des développements théoriques sur les familles de champs de vecteurs en dimension 2, sur le plan ou la sphère S2. L’ensemble de ces deux chapitres n’est cependant qu’une introduction à la théorie des bifurcations des systèmes dynamiques. Le chapitre 5 expose les concepts fondamentaux de cette théorie. On y donne les définitions de base concernant les familles à paramètres et les déploiements de systèmes dynamiques, la notion de déploiement versel et celle de codimension pour une singularité, ainsi que le rapport avec la notion de transversalité introduite dans le deuxième chapitre, notion qui trouve ici toute son utilité. Un modèle simple de théorie de bifurcation est la théorie des catastrophes de René Thom. Cette théorie sert de modèle à celle pré- sentée ici pour les champs de vecteurs, qui utilise aussi, directement, les résultats de la théorie des catastrophes. C’est pourquoi les catastrophes élémentaires sont présentées avec quelques développements. Les résultats connus pour les bifurcations de champs de vecteurs en dimension 2 sont présentés dans le texte, avec un accent mis sur les plus élémentaires, à savoir les bifurcations de type selle-nœud et les bifurcations de type Hopf-Takens. On introduit aussi deux outils nécessaires à la théorie des bifurcations : la réduction à une variété centrale et la mise en forme normale.
Le chapitre 6 poursuit l’examen de méthodes utiles à la théorie des bifurcations. Parmi les compléments possibles, nous avons distingué la désingularisation par éclatement des singularités et des déploiements de champs ainsi que le développement asymptotique de l’application de retour au voisinage d’un polycycle. Ces méthodes sont plus récentes et donc moins connues que celles introduites dans le chapitre 5, mais elles occupent une part croissante dans l’étude des bifurcations. Le chapitre se poursuit par l’évocation du seizième problème de Hilbert, de la question de la cyclicité finie et du rôle joué par les intégrales abéliennes dans l’étude des bifurcations de champs de vecteurs. On conclut par un exemple illustrant la difficulté de développer une théorie de la bifurcation pour des champs définis globalement sur toute une variété, même dans le cas le plus simple des champs sur la sphère S2. Ce chapitre 6 est, de tout l’ouvrage, celui qui est le plus nettement orienté vers la recherche. Il est dédié essentiellement aux lecteurs qui veulent étudier les bifurcations des systèmes dynamiques de façon plus approfondie.
Le dernier chapitre est consacré au modèle de Lorenz dans l’instabilité de Rayleigh-Bénard. Il est l’occasion de jeter un pont entre les systèmes dynamiques en dimension infinie et leur réduction éventuelle en dimension finie, le modèle de Lorenz proprement dit dans le cas considéré. Ce modèle de Lorenz est une famille à paramètres de champ de vecteurs polynomial quadratique dans R3. On étudie les bifurcations de points critiques, ce qui donne une illustration du chapitre précédent sur les bifurcations. On présente aussi succinctement l’attracteur de Lorenz apparaissant dans ce système. On ne donne pas de détails sur le modèle théorique, l’attracteur de Lorenz géométrique, qui est très largement étudié dans la littérature.
Les références au tome 1 sont toujours précédées par un I ou II selon la partie concernée à l’intérieur de celui-ci.
Dans un chapitre d’introduction, on donne quelques définitions de base ainsi que des exemples de systèmes dynamiques. Dans le deuxième chapitre, on introduit quelques idées importantes dues à René Thom, à savoir la notion de généricité déjà mentionnée et son rapport avec celle de la transversalité. Ces questions sont développées, par exemple le lemme fondamental de transversalité puis les différentes versions du théorème de transversalité de Thom et la notion de singularité. Pour donner au lecteur les outils dont il a besoin, on a inclu quelques précisions sur les espaces fonctionnels (y compris une preuve de la convergence en classe Ck sur les compacts) et sur les fibrés différentiels. Le troisième chapitre est consacré à l’étude locale des points singuliers et des orbites périodiques hyperboliques. Après la présentation de la classification des dynamiques linéaires hyperboliques, on s’est contenté de donner une idée de la preuve de l’existence des variétés invariantes. En se basant sur ce résultat d’existence, on donne une preuve assez complète du λ-Lemma et de l’existence de feuilletages locaux invariants. Ces résultats permettent de proposer une présentation géométrique du théorème de linéarisation de Hartman-Grobman, dans le même esprit que dans [52], texte qui nous a servi de guide pour ce chapitre, et pour une partie du chapitre suivant. Le quatrième chapitre est consacré à la notion de stabilité structurelle qui, localement, se réduit à la stabilité structurelle des points singuliers hyperboliques établie dans le troisième chapitre. On se contente d’étudier de façon approfondie quelques exemples importants de systèmes structurellement stables : les champs de vecteurs de Morse-Smale sur les surfaces de genre 0 et la dynamique de type fer à cheval de Smale pour un difféomorphisme en dimension 2, incluant évidemment la preuve de l’existence de ce type de dynamique au voisinage des points homoclines transverses.
Les deux chapitres suivants (5 et 6) sont consacrés à une présentation de la théorie des bifurcations, avec surtout des développements théoriques sur les familles de champs de vecteurs en dimension 2, sur le plan ou la sphère S2. L’ensemble de ces deux chapitres n’est cependant qu’une introduction à la théorie des bifurcations des systèmes dynamiques. Le chapitre 5 expose les concepts fondamentaux de cette théorie. On y donne les définitions de base concernant les familles à paramètres et les déploiements de systèmes dynamiques, la notion de déploiement versel et celle de codimension pour une singularité, ainsi que le rapport avec la notion de transversalité introduite dans le deuxième chapitre, notion qui trouve ici toute son utilité. Un modèle simple de théorie de bifurcation est la théorie des catastrophes de René Thom. Cette théorie sert de modèle à celle pré- sentée ici pour les champs de vecteurs, qui utilise aussi, directement, les résultats de la théorie des catastrophes. C’est pourquoi les catastrophes élémentaires sont présentées avec quelques développements. Les résultats connus pour les bifurcations de champs de vecteurs en dimension 2 sont présentés dans le texte, avec un accent mis sur les plus élémentaires, à savoir les bifurcations de type selle-nœud et les bifurcations de type Hopf-Takens. On introduit aussi deux outils nécessaires à la théorie des bifurcations : la réduction à une variété centrale et la mise en forme normale.
Le chapitre 6 poursuit l’examen de méthodes utiles à la théorie des bifurcations. Parmi les compléments possibles, nous avons distingué la désingularisation par éclatement des singularités et des déploiements de champs ainsi que le développement asymptotique de l’application de retour au voisinage d’un polycycle. Ces méthodes sont plus récentes et donc moins connues que celles introduites dans le chapitre 5, mais elles occupent une part croissante dans l’étude des bifurcations. Le chapitre se poursuit par l’évocation du seizième problème de Hilbert, de la question de la cyclicité finie et du rôle joué par les intégrales abéliennes dans l’étude des bifurcations de champs de vecteurs. On conclut par un exemple illustrant la difficulté de développer une théorie de la bifurcation pour des champs définis globalement sur toute une variété, même dans le cas le plus simple des champs sur la sphère S2. Ce chapitre 6 est, de tout l’ouvrage, celui qui est le plus nettement orienté vers la recherche. Il est dédié essentiellement aux lecteurs qui veulent étudier les bifurcations des systèmes dynamiques de façon plus approfondie.
Le dernier chapitre est consacré au modèle de Lorenz dans l’instabilité de Rayleigh-Bénard. Il est l’occasion de jeter un pont entre les systèmes dynamiques en dimension infinie et leur réduction éventuelle en dimension finie, le modèle de Lorenz proprement dit dans le cas considéré. Ce modèle de Lorenz est une famille à paramètres de champ de vecteurs polynomial quadratique dans R3. On étudie les bifurcations de points critiques, ce qui donne une illustration du chapitre précédent sur les bifurcations. On présente aussi succinctement l’attracteur de Lorenz apparaissant dans ce système. On ne donne pas de détails sur le modèle théorique, l’attracteur de Lorenz géométrique, qui est très largement étudié dans la littérature.
Les références au tome 1 sont toujours précédées par un I ou II selon la partie concernée à l’intérieur de celui-ci.
