La motivation initiale de cet ouvrage a été la transcription de cours donnés
oralement aux ingénieurs de la direction des Études et Recherches d’EDF. Depuis
la première mouture du texte, la maturation a été longue mais, citons Héraclite
(cinquième siècle avant notre ère), « Le temps est un enfant qui joue, en déplaçant
les pions ». Ces cours proposaient une introduction au calcul différentiel, quelques
éléments de la théorie qualitative des équations différentielles et quelques prolongements sur des idées plus récentes concernant les systèmes dynamiques.
Lorsqu’il a été question de passer de l’exposé oral à une version écrite, il est apparu qu’il serait bon d’en étoffer le contenu. Pour ce faire, nous avons utilisé la matière d’un autre cours consacré aux équations différentielles, non publié jusqu’alors et enseigné par le premier auteur au niveau de la licence de Mathématique à l’université de Bourgogne. Dans l’intention de rendre le contenu plus autonome, nous avons aussi décidé d’y adjoindre des prérequis sur le calcul différentiel ainsi que des notions plus avancées de topologie différentielle. Les quelques aperçus sur les systèmes dynamiques présentés lors des premiers cours oraux ont alors pu être développés en une introduction plus conséquente à ce vaste sujet.
Nous sommes ainsi arrivés à un ouvrage structuré en deux tomes, avec comme idée directrice de faire en sorte que le texte se suffise à lui-même et soit le plus progressif possible. L’ensemble peut se lire et s’utiliser à plusieurs niveaux. On peut se limiter au tome 1, comportant deux parties (I, II), pour trouver un cours classique sur les équations différentielles, abordable dans le cadre de la licence de Mathématique, ou une initiation à des notions de base indispensables aux applications. Le tome 1 permet de rendre cette initiation autonome, indépendante d’une formation universitaire en Mathématique. Le tome 2 est une ouverture vers la théorie moderne des systèmes dynamiques. Il peut être utilisé dans le cadre d’un master de Mathématique ou de Physique. Il peut aussi être employé avec profit par toute personne cherchant des compléments sur certains aspects récents de la théorie des systèmes dynamiques.
Comme il est dit plus haut, la partie I, assez courte, est consacrée à des pré requis de calcul différentiel et de topologie différentielle. Cette partie ne contient pas de longs développements ; on y trouvera peu de démonstrations. On se contente d’y définir les termes et notions de base utilisés par la suite, concernant aussi bien le calcul différentiel dans un espace euclidien (différentielle d’une application, développement limité, formules de Taylor, étude d’une fonction au voisinage d’un point critique) que la topologie différentielle (variétés, espace tangent, plongements), cadre naturel pour développer la théorie des systèmes dynamiques et même celle des simples équations différentielles. Illustrons notre propos. Un système différentiel défini dans, un espace euclidien, mais astreint à laisser invariantes des intégrales premières, (par exemple un système mécanique intégrable), va se restreindre à des sous-variétés de cet espace euclidien (par exemple à des sphères). De même, un système bi-périodique dans le plan s’étudie au mieux s’il est considéré comme un système sur le tore T^. Il est donc important de pouvoir disposer du langage de base de la topologie différentielle. Dans cette partie, on a aussi introduit le théorème de Sard, car celui-ci sert en particulier de base à la notion de propriété générique, notion indispensable pour la théorie des systèmes dynamiques.
La partie II peut être considérée comme la matière d’un cours classique sur la théorie qualitative des équations différentielles, par exemple dans l’esprit du livre de Lefschetz [15], c’est-à-dire dans la tradition qui a été initiée par Poincaré [22]. Les démonstrations sont souvent données avec quelques détails (cependant, on n’établit pas la différentiabilité des trajectoires, mais seulement leur existence et leur unicité en tant que courbes continues, ce qui suffit à donner une idée assez précise de la nature du théorème de Cauchy, à la source de la théorie qualitative des équations différentielles). On développe dans cette partie les principales notions qualitatives de base dérivant d’une notion centrale, celle du flot d’un champ de vecteurs. Le texte inclut par exemple le théorème de Poincaré-Bendixson relatif à la trivialité des récurrences dans le plan, avec comme préalable une preuve du théorème de Jordan pour une courbe simple plongée dans le plan, le théorème du voisinage tubulaire, la notion d’indice pour un point singulier isolé pour un champ en dimension 2, la notion d’application de Poincaré pour une orbite périodique, celle de suspension d’un difféomorphisme et un chapitre sur les notions de stabilité de points singuliers et d’orbites périodiques de champs et de difféomorphismes.
Le flot d’un champ de vecteurs est un exemple de système dynamique et le tome 2 est une introduction plus systématique à l’étude des systèmes dynamiques. Nous n’avons pas voulu développer ni même introduire tous les aspects de la théorie moderne de ces systèmes. Le tome 2 ne propose donc pas une présentation systématique des systèmes dynamiques et certains domaines essentiels sont à peine abordés, comme par exemple la théorie ergodique, ou bien celle des systèmes hamiltoniens. On a voulu au contraire se concentrer sur quelques thèmes de nature assez topologique et les développer précisément. On trouvera ainsi un chapitre consacré à l’exposition des idées de René Thom sur les notions de généricité et de transversalité, un chapitre sur les propriétés locales au voisinage des singularités hyperboliques, un chapitre consacré à la stabilité structurelle et deux autres à la théorie des bifurcations. Un dernier chapitre est consacré au modèle de Lorenz. I est l’occasion de jeter un pont entre les systèmes dynamiques en dimension infinie et leur réduction éventuelle en dimension finie.
Les références au tome 1 sont toujours précédées par un I ou II selon la partie concernée à l’intérieur de celui-ci ; les références au tome 2 sont toujours précédées par un III. Les références internes, que ce soit dans une partie du tome 1 ou dans le tome 2, sont faites sans la mention du chiffre romain.
Le deuxième auteur remercie le LMD (Laboratoire de météorologie dynamique) puis le CERES (Centre d’enseignement et de recherche sur l’environnement et la société) de l’École normale supérieure, de lui avoir permis l’écriture de cet ouvrage, en collaboration avec Robert Roussarie.
Lorsqu’il a été question de passer de l’exposé oral à une version écrite, il est apparu qu’il serait bon d’en étoffer le contenu. Pour ce faire, nous avons utilisé la matière d’un autre cours consacré aux équations différentielles, non publié jusqu’alors et enseigné par le premier auteur au niveau de la licence de Mathématique à l’université de Bourgogne. Dans l’intention de rendre le contenu plus autonome, nous avons aussi décidé d’y adjoindre des prérequis sur le calcul différentiel ainsi que des notions plus avancées de topologie différentielle. Les quelques aperçus sur les systèmes dynamiques présentés lors des premiers cours oraux ont alors pu être développés en une introduction plus conséquente à ce vaste sujet.
Nous sommes ainsi arrivés à un ouvrage structuré en deux tomes, avec comme idée directrice de faire en sorte que le texte se suffise à lui-même et soit le plus progressif possible. L’ensemble peut se lire et s’utiliser à plusieurs niveaux. On peut se limiter au tome 1, comportant deux parties (I, II), pour trouver un cours classique sur les équations différentielles, abordable dans le cadre de la licence de Mathématique, ou une initiation à des notions de base indispensables aux applications. Le tome 1 permet de rendre cette initiation autonome, indépendante d’une formation universitaire en Mathématique. Le tome 2 est une ouverture vers la théorie moderne des systèmes dynamiques. Il peut être utilisé dans le cadre d’un master de Mathématique ou de Physique. Il peut aussi être employé avec profit par toute personne cherchant des compléments sur certains aspects récents de la théorie des systèmes dynamiques.
Comme il est dit plus haut, la partie I, assez courte, est consacrée à des pré requis de calcul différentiel et de topologie différentielle. Cette partie ne contient pas de longs développements ; on y trouvera peu de démonstrations. On se contente d’y définir les termes et notions de base utilisés par la suite, concernant aussi bien le calcul différentiel dans un espace euclidien (différentielle d’une application, développement limité, formules de Taylor, étude d’une fonction au voisinage d’un point critique) que la topologie différentielle (variétés, espace tangent, plongements), cadre naturel pour développer la théorie des systèmes dynamiques et même celle des simples équations différentielles. Illustrons notre propos. Un système différentiel défini dans, un espace euclidien, mais astreint à laisser invariantes des intégrales premières, (par exemple un système mécanique intégrable), va se restreindre à des sous-variétés de cet espace euclidien (par exemple à des sphères). De même, un système bi-périodique dans le plan s’étudie au mieux s’il est considéré comme un système sur le tore T^. Il est donc important de pouvoir disposer du langage de base de la topologie différentielle. Dans cette partie, on a aussi introduit le théorème de Sard, car celui-ci sert en particulier de base à la notion de propriété générique, notion indispensable pour la théorie des systèmes dynamiques.
La partie II peut être considérée comme la matière d’un cours classique sur la théorie qualitative des équations différentielles, par exemple dans l’esprit du livre de Lefschetz [15], c’est-à-dire dans la tradition qui a été initiée par Poincaré [22]. Les démonstrations sont souvent données avec quelques détails (cependant, on n’établit pas la différentiabilité des trajectoires, mais seulement leur existence et leur unicité en tant que courbes continues, ce qui suffit à donner une idée assez précise de la nature du théorème de Cauchy, à la source de la théorie qualitative des équations différentielles). On développe dans cette partie les principales notions qualitatives de base dérivant d’une notion centrale, celle du flot d’un champ de vecteurs. Le texte inclut par exemple le théorème de Poincaré-Bendixson relatif à la trivialité des récurrences dans le plan, avec comme préalable une preuve du théorème de Jordan pour une courbe simple plongée dans le plan, le théorème du voisinage tubulaire, la notion d’indice pour un point singulier isolé pour un champ en dimension 2, la notion d’application de Poincaré pour une orbite périodique, celle de suspension d’un difféomorphisme et un chapitre sur les notions de stabilité de points singuliers et d’orbites périodiques de champs et de difféomorphismes.
Le flot d’un champ de vecteurs est un exemple de système dynamique et le tome 2 est une introduction plus systématique à l’étude des systèmes dynamiques. Nous n’avons pas voulu développer ni même introduire tous les aspects de la théorie moderne de ces systèmes. Le tome 2 ne propose donc pas une présentation systématique des systèmes dynamiques et certains domaines essentiels sont à peine abordés, comme par exemple la théorie ergodique, ou bien celle des systèmes hamiltoniens. On a voulu au contraire se concentrer sur quelques thèmes de nature assez topologique et les développer précisément. On trouvera ainsi un chapitre consacré à l’exposition des idées de René Thom sur les notions de généricité et de transversalité, un chapitre sur les propriétés locales au voisinage des singularités hyperboliques, un chapitre consacré à la stabilité structurelle et deux autres à la théorie des bifurcations. Un dernier chapitre est consacré au modèle de Lorenz. I est l’occasion de jeter un pont entre les systèmes dynamiques en dimension infinie et leur réduction éventuelle en dimension finie.
Les références au tome 1 sont toujours précédées par un I ou II selon la partie concernée à l’intérieur de celui-ci ; les références au tome 2 sont toujours précédées par un III. Les références internes, que ce soit dans une partie du tome 1 ou dans le tome 2, sont faites sans la mention du chiffre romain.
Le deuxième auteur remercie le LMD (Laboratoire de météorologie dynamique) puis le CERES (Centre d’enseignement et de recherche sur l’environnement et la société) de l’École normale supérieure, de lui avoir permis l’écriture de cet ouvrage, en collaboration avec Robert Roussarie.
