Une première version de ce livre est parue en 1998. Puis une deuxième, en
anglais, en 2003. La présente édition est destinée aux étudiants de licence (l3) et
de « master » de mathématiques ainsi qu’à celles et ceux qui préparent le capes
ou l’agrégation. Elle s’adresse donc à des lecteurs qui ont étudié de la géométrie de
façon plus ou moins expérimentale au lycée et de l’algèbre linéaire de façon plus
formelle pendant deux années d’université. Elle est issue de l’enseignement que
j’ai donné aux étudiants de ces filières et des enseignements que j’en ai moi-même
tirés.
Deux idées directrices
La première idée est de fournir un exposé rigoureux, basé sur la définition d’un espace affine via l’algèbre linéaire, mais qui n’hésite pas à être terre à terre et élé- mentaire. C’est pourquoi j’ai souhaité expliquer comment l’algèbre linéaire peut être utilisée en géométrie élémentaire et en même temps montrer de la « vraie » géométrie : des triangles, des sphères, des polyèdres, des angles inscrits, des inversions, des paraboles...
Il est en effet très satisfaisant pour les mathématiciens de définir un espace affine comme un ensemble de points sur lequel opère un espace vectoriel (et c’est ce que je fais ici) mais cette approche formelle, si élégante soit-elle, ne doit pas occulter l’aspect « phénoménologique » de la géométrie élémentaire, son esthétique propre : oui, le théorème de Thalès exprime simplement que les projections sont des applications affines, non, il n’est pas nécessaire d’orienter un plan euclidien pour y définir des angles orientés... tout ça n’empêche ni le cercle d’Euler d’être tangent aux cercles inscrit et exinscrits, ni les droites de Simson d’envelopper une hypocycloïde à trois rebroussements !
Ce parti pris oblige à aborder certains sujets sous des éclairages différents. Par exemple, les inversions planes traitées de façon naïve au chapitre III font des retours plus abstraits dans le chapitre de géométrie projective et dans celui sur les quadriques. De même l’étude des coniques projectives au chapitre VII vient après celle des coniques affines... alors qu’il aurait été plus simple — au moins pour l’auteur ! — de tout déduire du traitement projectif.
La deuxième idée est de produire un texte ouvert : les ouvrages destinés aux étudiants préparant le capes sont trop souvent fermés sur le programme de ce concours, ce qui ne donne pas l’impression que les mathématiques soient une science en mouvement (ni en fête, d’ailleurs !). Malgré l’aspect limité du programme traité ici, j’espère intéresser aussi des lectrices plus avancées.
Enfin, les mathématiques sont une activité humaine comme les autres et une bonne partie du contenu du livre ressortit à la culture la plus classique puisqu’on y évoque notamment l’arc-en-ciel selon Newton, les sections coniques d’Apollonius, la difficulté à dessiner des cartes de la Terre, la géométrie d’Euclide et le postulat des parallèles, la mesure des latitudes et des longitudes, les problèmes de perspective des peintres de la Renaissance(1), les polyèdres platoniciens. J’ai essayé de le montrer dans la façon de l’écrire(2) et dans la bibliographie.
Deux idées directrices
La première idée est de fournir un exposé rigoureux, basé sur la définition d’un espace affine via l’algèbre linéaire, mais qui n’hésite pas à être terre à terre et élé- mentaire. C’est pourquoi j’ai souhaité expliquer comment l’algèbre linéaire peut être utilisée en géométrie élémentaire et en même temps montrer de la « vraie » géométrie : des triangles, des sphères, des polyèdres, des angles inscrits, des inversions, des paraboles...
Il est en effet très satisfaisant pour les mathématiciens de définir un espace affine comme un ensemble de points sur lequel opère un espace vectoriel (et c’est ce que je fais ici) mais cette approche formelle, si élégante soit-elle, ne doit pas occulter l’aspect « phénoménologique » de la géométrie élémentaire, son esthétique propre : oui, le théorème de Thalès exprime simplement que les projections sont des applications affines, non, il n’est pas nécessaire d’orienter un plan euclidien pour y définir des angles orientés... tout ça n’empêche ni le cercle d’Euler d’être tangent aux cercles inscrit et exinscrits, ni les droites de Simson d’envelopper une hypocycloïde à trois rebroussements !
Ce parti pris oblige à aborder certains sujets sous des éclairages différents. Par exemple, les inversions planes traitées de façon naïve au chapitre III font des retours plus abstraits dans le chapitre de géométrie projective et dans celui sur les quadriques. De même l’étude des coniques projectives au chapitre VII vient après celle des coniques affines... alors qu’il aurait été plus simple — au moins pour l’auteur ! — de tout déduire du traitement projectif.
La deuxième idée est de produire un texte ouvert : les ouvrages destinés aux étudiants préparant le capes sont trop souvent fermés sur le programme de ce concours, ce qui ne donne pas l’impression que les mathématiques soient une science en mouvement (ni en fête, d’ailleurs !). Malgré l’aspect limité du programme traité ici, j’espère intéresser aussi des lectrices plus avancées.
Enfin, les mathématiques sont une activité humaine comme les autres et une bonne partie du contenu du livre ressortit à la culture la plus classique puisqu’on y évoque notamment l’arc-en-ciel selon Newton, les sections coniques d’Apollonius, la difficulté à dessiner des cartes de la Terre, la géométrie d’Euclide et le postulat des parallèles, la mesure des latitudes et des longitudes, les problèmes de perspective des peintres de la Renaissance(1), les polyèdres platoniciens. J’ai essayé de le montrer dans la façon de l’écrire(2) et dans la bibliographie.
