Ce livre est consacré à l’exposition des notions de base du calcul des probabilités. Il s’appuie de façon essentielle sur la théorie de la mesure et de l’intégration de
Lebesgue. (Mesures de probabilités discrètes ou à densité sont donc étudiées dans
un même cadre, au titre d’exemples priviligiés les plus usuels.) Les deux premiers
chapitres sont en fait un rappel des éléments de base de la théorie élémentaire de
la mesure et de l’intégrale de Lebesgue. Ils ne peuvent cependant être considérés
comme un traitement exhaustif. Le lecteur peut consulter le livre de J. Faraut,
dans la même collection, pour un exposé plus complet. Le chapitre III introduit
les premiers aspects des probabilités avec les notions de variables aléatoires et
de leurs lois, illustrées par de nombreux exemples. Les fonctions caractéristiques
(transformées de Fourier) y sont également étudiées. Le chapitre IV fait réellement
entrer le lecteur dans les considérations probabilistes avec le concept d’indépendance. L’addition des variables aléatoires indépendantes y est interprétée comme la traduction fonctionnelle, à la riche intuition, du produit de convolution des mesures. Au chapitre V sont présentées les diverses notions de convergence de suites de variables aléatoires, convergence presque sûre, en probabilité, en loi. La loi des
grands nombres et le théorème central limite constituent les exemples fondamentaux de ces divers modes de convergence. Le chapitre suivant est un exposé des
notions de conditionnement (probabilités, espérances, lois), illustré par le modèle
gaussien. Le chapitre VII est une brève introduction à la notion de martingale
à temps discret où sont notamment établis le théorème d’arrêt et les théorèmes
de convergence des martingales. Enfin, le dernier chapitre traite succintement de
chaînes de Markov (mesures invariantes, convergences). Un appendice présentant
les lois de probabilités usuelles avec leurs caractéristiques principales complète la
rédaction.
Ce livre est destiné à des étudiants de 3e année de licence de mathématiques
ayant suivi un cours de base de mesure et intégration, dont les éléments fondamentaux sont toutefois rappelés dans les deux premiers chapitres. Il ne suppose
pas une connaissance préalable des notions de probabilités enseignées d’ordinaire
dans les deux premières années de licence et habituellement axés sur les probabilités discrètes et les problèmes de combinatoire dont il n’est fait que très peu
état dans cet ouvrage. Ce livre peut être utilisé comme support d’un cours de
probabilité de L3, ou d’un premier semestre de master. Cet ouvrage contient en
outre les prérequis nécessaires à l’épreuve écrite de mathématiques générales pour
l’agrégation ainsi que pour les leçons spécialisées. Chaque chapitre est complété
par une série d’exercices destinés à approfondir et à illustrer les éléments de la
théorie venant d’être introduits.
Ce livre n’est pas la contribution des seuls auteurs, mais reflète en partie
aussi l’enseignement des probabilités par l’équipe du laboratoire de statistique et
probabilités de l’université Paul-Sabatier de Toulouse au cours de ces dernières
années. Nous remercions ainsi D. Bakry, M. Benaïm, Ph. Carmona, L. Coutin,
J.-L. Dunau, G. Letac, D. Michel et tous les membres du laboratoire pour nous
avoir permis de puiser librement dans leurs notes de cours et leurs réserves d’exercices, et pour nous avoir conseillé et relu à divers moments de la préparation. Nous
remercions tout particulièrement D. Michel et X. Milhaud pour avoir suppléé le
chapitre VIII sur les chaînes de Markov, ainsi que pour leur soutien et leur aide.
P. Lezaud a relu avec un soin extrême tout le manuscrit et a testé la plupart
des exercices. Qu’il soit sincèrement remercié pour cette tâche bien ingrate. Un
dernier mot enfin. Le temps passé à la rédaction de ce livre est très certainement
insuffisant pour que cet ouvrage puisse prétendre à beaucoup d’originalité et pour
que le résultat soit à la hauteur des espérances et de l’enthousiasme des premières
lignes. Il ne saurait être aussi exempt d’imperfections et d’erreurs pour lesquels
nous nous excusons par avance.
Un chapitre est numéroté par un chiffre romain, et une section de chapitre
par un chiffre arabe. Un énoncé dans une section est désigné par le numéro de la
section et le numéro d’ordre de cet énoncé dans la section. Ainsi, II.3.4 désigne
l’énoncé 4 dans la section 3 du chapitre II
