Ce livre est le second d’une série de trois recueils d’exercices corrigés traitant
des bases de l’analyse réelle. Il s’adresse d’abord aux étudiants, principalement
ceux des niveaux L1 à L3, qu’ils soient à l’université ou en CPGE. Il intéressera
aussi les candidats aux concours du CAPES et de l’agrégation de mathématiques
qui y trouveront autant les théorèmes qu’ils doivent connaître que des exercices
pour les illustrer.
Ce second volume traite principalement des fonctions réelles d’une variable réelle. Le premier chapitre traite en profondeur des fonctions continues (la dernière section, sur les fonctions entre espaces métriques, intéressera plus particulièrement les étudiants de L3 et M1). Le second chapitre aborde les fonctions dérivables (la dernière section traitant de généralisations de la notion de dérivée, thème très rarement abordé dans les ouvrages s’adressant aux étudiants du premier cycle universitaire) et le dernier chapitre se concentre sur les séries de fonctions. Chaque section, centrée sur un thème, commence par des exercices relativement simples et se poursuit par des problèmes plus difficiles, certains étant des théorèmes classiques. Souvent, différents aspects d’un même thème sont traités en une série d’exercices successifs pour permettre d’en approfondir la compréhension.
Tous les exercices sont corrigés, le plus souvent en détail, ce qui permettra aux étudiants de ne pas « sécher » sur un exercice difficile. Nous les invitons cependant à chercher par eux-mêmes les exercices avant de regarder les solutions pour ne pas se priver du plaisir de les résoudre. Nous insistons aussi sur le fait que les auteurs ne donnent pas nécessairement toutes les étapes d’un calcul lorsqu’ils considèrent que celui-ci ne pose pas de problèmes techniques. C’est bien sur aux étudiants de prendre le temps de rédiger entièrement leurs solutions.
Nous avons ajouté dans cette traduction quelques notes pour préciser certaines définitions et éviter ainsi d’avoir à chercher dans d’autres ouvrages. Nous avons aussi ajouter en note les noms de certaines propriétés et relations pour inviter les étudiants à engager des recherches par eux-mêmes. L’index à la fin de l’ouvrage permet de facilement retrouver une définition et la table des renvois permet de voir les liens entre les différents problèmes dans ce volume et dans les deux autres. Je tiens à remercier Daniel Guin et Xavier Cottrell pour avoir pris le temps de relire cette traduction et pour les remarques qu’ils m’ont faites afin d’améliorer le style et de corriger les erreurs. Je reste responsable de celles qui subsisteraient.
Je souhaite aussi remercier pour sa disponibilité Patrick Fradin, l’auteur du logiciel TeXgraph avec lequel toutes les figures de cet ouvrage et l’illustration de la couverture ont été réalisées.
Ce second volume traite principalement des fonctions réelles d’une variable réelle. Le premier chapitre traite en profondeur des fonctions continues (la dernière section, sur les fonctions entre espaces métriques, intéressera plus particulièrement les étudiants de L3 et M1). Le second chapitre aborde les fonctions dérivables (la dernière section traitant de généralisations de la notion de dérivée, thème très rarement abordé dans les ouvrages s’adressant aux étudiants du premier cycle universitaire) et le dernier chapitre se concentre sur les séries de fonctions. Chaque section, centrée sur un thème, commence par des exercices relativement simples et se poursuit par des problèmes plus difficiles, certains étant des théorèmes classiques. Souvent, différents aspects d’un même thème sont traités en une série d’exercices successifs pour permettre d’en approfondir la compréhension.
Tous les exercices sont corrigés, le plus souvent en détail, ce qui permettra aux étudiants de ne pas « sécher » sur un exercice difficile. Nous les invitons cependant à chercher par eux-mêmes les exercices avant de regarder les solutions pour ne pas se priver du plaisir de les résoudre. Nous insistons aussi sur le fait que les auteurs ne donnent pas nécessairement toutes les étapes d’un calcul lorsqu’ils considèrent que celui-ci ne pose pas de problèmes techniques. C’est bien sur aux étudiants de prendre le temps de rédiger entièrement leurs solutions.
Nous avons ajouté dans cette traduction quelques notes pour préciser certaines définitions et éviter ainsi d’avoir à chercher dans d’autres ouvrages. Nous avons aussi ajouter en note les noms de certaines propriétés et relations pour inviter les étudiants à engager des recherches par eux-mêmes. L’index à la fin de l’ouvrage permet de facilement retrouver une définition et la table des renvois permet de voir les liens entre les différents problèmes dans ce volume et dans les deux autres. Je tiens à remercier Daniel Guin et Xavier Cottrell pour avoir pris le temps de relire cette traduction et pour les remarques qu’ils m’ont faites afin d’améliorer le style et de corriger les erreurs. Je reste responsable de celles qui subsisteraient.
Je souhaite aussi remercier pour sa disponibilité Patrick Fradin, l’auteur du logiciel TeXgraph avec lequel toutes les figures de cet ouvrage et l’illustration de la couverture ont été réalisées.
