Avant-propos
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Ce livre couvre le programme d’algèbre et de géométrie de deuxième année PC et
PSI, et poursuit la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première
année. Comme pour l’ensemble de la collection, le respect du programme officiel
est un principe que nous avons suivi à la lettre. Ainsi, tout exercice et tout rappel de
cours faisant appel à une notion qui n’est pas commune aux programmes de PC et PSI
est signalé de façon explicite. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l’approfondissement en deuxième année de certains points abordés en première année :
espaces vectoriels, applications linéaires, calcul matriciel, déterminants, étude affine
et métrique des courbes, espaces euclidiens. Nous avons mis à profit cette possibilité pour que le présent ouvrage, tout en étant sans ambiguïté destiné aux élèves
de deuxième année, présente plusieurs chapitres utilisables en première lecture dès
le deuxième semestre de première année et pour les « révisions estivales » entre la
première et la deuxième année.
Les premiers chapitres traitent des espaces vectoriels et des applications linéaires, puis du calcul matriciel. Les notions nouvelles de sommes directes, de trace et de matrices semblables sont illustrées par de nombreux exercices. De manière délibé- rée, les exercices proposés ont été sélectionnés pour clarifier et maîtriser l’articulation entre le point de vue matriciel et le point de vue vectoriel, plus géométrique. Ces chapitres permettent de réviser et d’approfondir le programme de première année tout en donnant une vue réaliste des exercices donnés à l’oral. Les systèmes linéaires et les déterminants nous ont permis, par les exercices choisis, de montrer l’efficacité d’une démarche méthodique sur des exemples simples qui s’appuient sur les acquis première année. Le passage à la dimension n supérieure à 3 justifie pleinement l’approche conceptuelle, complément impératif de l’approche technique anté- rieure. La réduction des endomorphismes est un point essentiel du programme de deuxième année en raison de son intérêt pour la formation de l’élève (toutes les notions d’algèbre linéaire sont sollicitées), de son intérêt pour la préparation aux concours (toutes les épreuves de concours, ou presque, abordent ces questions) et de son intérêt pour l’évolution future de l’élève-ingénieur qui rencontrera ces notions utilisées dans de nombreux domaines scientifiques. Les espaces préhilbertiens et euclidiens réalisent une synthèse encore plus profonde entre les outils techniques et la démarche conceptuelle. Nous avons tenté de rendre compte par les rappels de cours et le choix des exercices de la richesse de ces concepts en privilégiant l’approche méthodique et en montrant à l’élève les vertus unificatrices de notions qui dépassent largement la géométrie et s’appliquent aussi bien à l’analyse qu’à l’algèbre. Dans le chapitre « quadriques et coniques », la classification et la méthode de réduction sont présentées de façon détaillée et illustrées par de nombreux exemples. Notre expérience d’examinateurs d’oral nous montre que les courbes polaires et paramétrées sont souvent négligées par les élèves. Par des exercices venant de tous les concours, nous souhaitons leurs montrer que cette négligence est risquée. Nous avons rédigé ce chapitre de manière progressive en y intégrant les éléments de programme de première année pour construire un ensemble complet et autonome. Le chapitre suivant traite des surfaces définies par un paramétrage ou par une équation carté- sienne. C’est sous l’éclairage de ce double point de vue que sont abordées les notions fondamentales de vecteur normal et de plan tangent en un point régulier. Un choix judicieux et progressif d’exercices de concours permet aux étudiants de se familiariser avec les surfaces usuelles. Le dernier chapitre intitulé « compléments de géomé- trie » regroupe des exercices de tous les concours abordant les questions de géomé- trie (affine, euclidienne, isométries affines et vectorielles, lieux géométriques, calcul d’extrema). Absentes des programmes de deuxième année, ces notions ne sont pas absentes des concours. Enfin, nous avons apporté un soin tout particulier aux figures qui illustrent ces derniers chapitres.
Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entre les principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première année et ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avions choisi de présenter et d’illustrer de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une après l’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales et encore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choisi de présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser par étapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaque chapitre est donc constitué de trois parties :
– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimilation immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complication inutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et une seule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois unités » : un exercice, une difficulté, une solution ;
– des exercices d’entraînement dont la rédaction progressive et le découpage en questions ont pour objectif d’amener le lecteur à la compréhension en le confrontant de façon progressive aux difficultés propres à la notion étudiée ;
– des exercices d’approfondissement destinés à mettre l’élève en situation de concours , avec la nécessité pour lui de faire preuve de compréhension, d’initiative, d’intuition et de maîtrise technique. La lecture d’un tel chapitre n’est donc plus nécessairement linéaire. La structure est parfaitement adaptée à des lecteurs de niveaux variés qui pourront éventuellement passer directement à une forme d’auto-évaluation en se concentrant sur les exercices d’approfondissements ou, au contraire, progresser pas à pas avec les exercices d’assimilation. Si les élèves de deuxième année ont pu gagner en autonomie, il n’en reste pas moins que leurs niveaux de compétence et de compréhension restent très hétérogènes. Ainsi, entre des « 3/2 » qui découvrent le programme pour la première fois et n’ont encore été confrontés à aucun concours, des « 5/2 » qui ont déjà étudié le programme mais ont échoué à leur première expérience et des « 5/2 » déjà admis à des concours mais dont l’ambition les amène à viser encore plus haut, les différences sont très fortes. Ce sont ces différences, constatées en particulier lors des séances de « colles », qui nous ont amenés à cette rédaction permettant plusieurs niveaux de lecture et d’utilisation de l’ouvrage.
Entre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième année n’impose pas d’ordre ni de découpage, contrairement au programme de première année. Cette liberté nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adaptée et la plus équilibrée. Chaque étape présente un nombre de notions nouvelles acceptable pour une perception d’ensemble compatible avec la structure des chapitres. Il n’y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d’un escalier : la hauteur acceptable des marches et leur régularité peut faciliter l’ascension. . . Nous avons donc retenu une progression qui nous semble adaptée, sans affirmer pour autant que d’autres progressions sont à rejeter. Notre diversité d’expérience, avantage de la rédaction collective, nous amène d’ailleurs à utiliser différentes progressions dans nos pratiques d’enseignement. Il reste ensuite le choix le plus difficile : face à l’infinité d’exercices possibles et au temps fini dont disposent les élèves pour préparer les concours, que proposer ? Quelques principes ont guidé notre sélection :
– respecter le parti-pris de progressivité en donnant des exercices qui permettent d’assimiler, puis de s’entraîner et enfin d’approfondir ;
– donner une vue précise et réaliste d’exercices qui « tombent à l’oral » en s’appuyant en particulier sur une veille attentive des sujets donnés à l’oral dans plusieurs concours depuis plusieurs années ; – privilégier les exercices « génériques » dont la maîtrise donne les clefs de nombreux exercices (comme il avait déjà été annoncé en avant-propos des ouvrages de première année : habituer les élèves à reconnaître les « visages connus » sous leurs différentes apparences) ;
– profiter du « nomadisme » des exercices constaté entre des concours différents et ne pas hésiter à proposer un sujet de MP si son intérêt pédagogique le justifie, sachant que ce même sujet peut apparaître plus tard en PC ou PSI. . . – convaincre les élèves que les oraux couvrent tout le programme des deux années. Pour éviter l’arbitraire des préférences personnelles lors d’une rédaction collective, une référence incontestable et « objective » est nécessaire : nous avons choisi pour référence la réalité des exercices donnés à l’oral, principalement depuis 2004, date d’application du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le « classement » des élèves et non leur formation. Dans un ouvrage d’apprentissage quotidien, certaines retouches se sont avérées nécessaires : lorsqu’ils utilisent ce livre, les élèves sont en cours de formation et pas encore en concours ! Notre expérience d’enseignants d’abord, de « colleurs » ensuite, d’examinateurs enfin, nous a permis d’observer en situation réelle, dans différentes classes, les élèves face à ces exercices. . . ce qui nous a convaincus de la nécessité d’en faire évoluer la rédaction pour qu’ils passent du statut d’exercice d’oral au statut d’exercice pédagogique. Notre expé- rience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manière, dénaturer ces exercices. La rédaction retouchée de certains exercices répond à la fois à un objectif pédagogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l’élève par une rédaction détaillée qui fasse apparaître de façon explicite les difficultés et les techniques à maî- triser. Objectif psychologique de rassurer l’élève en l’amenant à résoudre seul une majorité de questions en favorisant ainsi le développement de son autonomie. Si un sujet a été donné à plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui nous semblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avons également regroupé certains énoncés d’oral qui nous semblaient complémentaires ou permettaient de donner un aperçu des sujets régulièrement abordés à l’écrit. Quant aux éléments de cours, chacun sait que ce qui est élégamment écrit dans un cours à la rédaction parfaite n’est pas toujours aussi clair dans l’esprit des élèves. . . et nous n’avons pas hésité, parfois, à sacrifier l’élégance de la rédaction à la redondance lorsque cette dernière nous permettait de rendre explicites des notions souvent restées implicites.
C’est en premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC1, PC2 et PC* du Lycée Henri Poincaré et PSI et PSI* du Lycée Henri Loritz de Nancy que nous adressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribué par leurs réactions, leurs questions, leurs erreurs et leur compréhension à guider nos efforts de présentation des exercices, de clarification des questions, de simplification des corrigés.
Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rédactionnelle est aussi une aventure humaine dans laquelle nous avons été aidés.
Aidés matériellement par l’Institut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis d’utiliser ses moyens informatiques et ses ressources documentaires. Aidés par l’IREM qui nous a donné un accès privilégié à ses ressources documentaires, ainsi que par l’I.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothèque nous a toujours reçus avec sourire et efficacité.
Aidés également par le Lycée Henri Poincaré de Nancy qui nous a accueillis chaque samedi matin, de septembre à mars, dans une salle équipée de moyens informatiques.
Aidés enfin par trois collègues du Lycée Henri Poincaré, Gilles Demeusois, Michel Eguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en détail et dont les remarques ont sensiblement amélioré le présent ouvrage. Que tous soient sincèrement remerciés.
Notre collègue de l’Institut Elie Cartan de Nancy, Françoise Géandier, a relu une partie du manuscrit... et a du supporter dans notre bureau commun la présence de l’ensemble de l’équipe. Nous la remercions et nous lui demandons de nous excuser pour le désordre conséquent.
Il est inévitable que certaines erreurs aient échappé à la vigilance de tous ceux qui ont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilité et nous espérons que ceux qui en découvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques à l’adresse suivante Elhaj.laamri@iecn.u-nancy.fr.
Enfin, si dans cette aventure humaine certaines personnes nous ont aidés, il en est sans qui rien n’aurait été possible. Nos compagnes, par leur infinie patience, leur soutien sans faille et leur attentive présence ont joué un rôle essentiel dans l’aboutissement de ce projet. Au moment de mettre un point final à cet ouvrage c’est vers elles que nos pensées se tournent.
Nancy le 15 avril 2008
El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alain Mansoux, David Rupprecht, Laurent Schwald
Les premiers chapitres traitent des espaces vectoriels et des applications linéaires, puis du calcul matriciel. Les notions nouvelles de sommes directes, de trace et de matrices semblables sont illustrées par de nombreux exercices. De manière délibé- rée, les exercices proposés ont été sélectionnés pour clarifier et maîtriser l’articulation entre le point de vue matriciel et le point de vue vectoriel, plus géométrique. Ces chapitres permettent de réviser et d’approfondir le programme de première année tout en donnant une vue réaliste des exercices donnés à l’oral. Les systèmes linéaires et les déterminants nous ont permis, par les exercices choisis, de montrer l’efficacité d’une démarche méthodique sur des exemples simples qui s’appuient sur les acquis première année. Le passage à la dimension n supérieure à 3 justifie pleinement l’approche conceptuelle, complément impératif de l’approche technique anté- rieure. La réduction des endomorphismes est un point essentiel du programme de deuxième année en raison de son intérêt pour la formation de l’élève (toutes les notions d’algèbre linéaire sont sollicitées), de son intérêt pour la préparation aux concours (toutes les épreuves de concours, ou presque, abordent ces questions) et de son intérêt pour l’évolution future de l’élève-ingénieur qui rencontrera ces notions utilisées dans de nombreux domaines scientifiques. Les espaces préhilbertiens et euclidiens réalisent une synthèse encore plus profonde entre les outils techniques et la démarche conceptuelle. Nous avons tenté de rendre compte par les rappels de cours et le choix des exercices de la richesse de ces concepts en privilégiant l’approche méthodique et en montrant à l’élève les vertus unificatrices de notions qui dépassent largement la géométrie et s’appliquent aussi bien à l’analyse qu’à l’algèbre. Dans le chapitre « quadriques et coniques », la classification et la méthode de réduction sont présentées de façon détaillée et illustrées par de nombreux exemples. Notre expérience d’examinateurs d’oral nous montre que les courbes polaires et paramétrées sont souvent négligées par les élèves. Par des exercices venant de tous les concours, nous souhaitons leurs montrer que cette négligence est risquée. Nous avons rédigé ce chapitre de manière progressive en y intégrant les éléments de programme de première année pour construire un ensemble complet et autonome. Le chapitre suivant traite des surfaces définies par un paramétrage ou par une équation carté- sienne. C’est sous l’éclairage de ce double point de vue que sont abordées les notions fondamentales de vecteur normal et de plan tangent en un point régulier. Un choix judicieux et progressif d’exercices de concours permet aux étudiants de se familiariser avec les surfaces usuelles. Le dernier chapitre intitulé « compléments de géomé- trie » regroupe des exercices de tous les concours abordant les questions de géomé- trie (affine, euclidienne, isométries affines et vectorielles, lieux géométriques, calcul d’extrema). Absentes des programmes de deuxième année, ces notions ne sont pas absentes des concours. Enfin, nous avons apporté un soin tout particulier aux figures qui illustrent ces derniers chapitres.
Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entre les principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première année et ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avions choisi de présenter et d’illustrer de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une après l’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales et encore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choisi de présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser par étapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaque chapitre est donc constitué de trois parties :
– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimilation immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complication inutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et une seule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois unités » : un exercice, une difficulté, une solution ;
– des exercices d’entraînement dont la rédaction progressive et le découpage en questions ont pour objectif d’amener le lecteur à la compréhension en le confrontant de façon progressive aux difficultés propres à la notion étudiée ;
– des exercices d’approfondissement destinés à mettre l’élève en situation de concours , avec la nécessité pour lui de faire preuve de compréhension, d’initiative, d’intuition et de maîtrise technique. La lecture d’un tel chapitre n’est donc plus nécessairement linéaire. La structure est parfaitement adaptée à des lecteurs de niveaux variés qui pourront éventuellement passer directement à une forme d’auto-évaluation en se concentrant sur les exercices d’approfondissements ou, au contraire, progresser pas à pas avec les exercices d’assimilation. Si les élèves de deuxième année ont pu gagner en autonomie, il n’en reste pas moins que leurs niveaux de compétence et de compréhension restent très hétérogènes. Ainsi, entre des « 3/2 » qui découvrent le programme pour la première fois et n’ont encore été confrontés à aucun concours, des « 5/2 » qui ont déjà étudié le programme mais ont échoué à leur première expérience et des « 5/2 » déjà admis à des concours mais dont l’ambition les amène à viser encore plus haut, les différences sont très fortes. Ce sont ces différences, constatées en particulier lors des séances de « colles », qui nous ont amenés à cette rédaction permettant plusieurs niveaux de lecture et d’utilisation de l’ouvrage.
Entre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième année n’impose pas d’ordre ni de découpage, contrairement au programme de première année. Cette liberté nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adaptée et la plus équilibrée. Chaque étape présente un nombre de notions nouvelles acceptable pour une perception d’ensemble compatible avec la structure des chapitres. Il n’y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d’un escalier : la hauteur acceptable des marches et leur régularité peut faciliter l’ascension. . . Nous avons donc retenu une progression qui nous semble adaptée, sans affirmer pour autant que d’autres progressions sont à rejeter. Notre diversité d’expérience, avantage de la rédaction collective, nous amène d’ailleurs à utiliser différentes progressions dans nos pratiques d’enseignement. Il reste ensuite le choix le plus difficile : face à l’infinité d’exercices possibles et au temps fini dont disposent les élèves pour préparer les concours, que proposer ? Quelques principes ont guidé notre sélection :
– respecter le parti-pris de progressivité en donnant des exercices qui permettent d’assimiler, puis de s’entraîner et enfin d’approfondir ;
– donner une vue précise et réaliste d’exercices qui « tombent à l’oral » en s’appuyant en particulier sur une veille attentive des sujets donnés à l’oral dans plusieurs concours depuis plusieurs années ; – privilégier les exercices « génériques » dont la maîtrise donne les clefs de nombreux exercices (comme il avait déjà été annoncé en avant-propos des ouvrages de première année : habituer les élèves à reconnaître les « visages connus » sous leurs différentes apparences) ;
– profiter du « nomadisme » des exercices constaté entre des concours différents et ne pas hésiter à proposer un sujet de MP si son intérêt pédagogique le justifie, sachant que ce même sujet peut apparaître plus tard en PC ou PSI. . . – convaincre les élèves que les oraux couvrent tout le programme des deux années. Pour éviter l’arbitraire des préférences personnelles lors d’une rédaction collective, une référence incontestable et « objective » est nécessaire : nous avons choisi pour référence la réalité des exercices donnés à l’oral, principalement depuis 2004, date d’application du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le « classement » des élèves et non leur formation. Dans un ouvrage d’apprentissage quotidien, certaines retouches se sont avérées nécessaires : lorsqu’ils utilisent ce livre, les élèves sont en cours de formation et pas encore en concours ! Notre expérience d’enseignants d’abord, de « colleurs » ensuite, d’examinateurs enfin, nous a permis d’observer en situation réelle, dans différentes classes, les élèves face à ces exercices. . . ce qui nous a convaincus de la nécessité d’en faire évoluer la rédaction pour qu’ils passent du statut d’exercice d’oral au statut d’exercice pédagogique. Notre expé- rience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manière, dénaturer ces exercices. La rédaction retouchée de certains exercices répond à la fois à un objectif pédagogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l’élève par une rédaction détaillée qui fasse apparaître de façon explicite les difficultés et les techniques à maî- triser. Objectif psychologique de rassurer l’élève en l’amenant à résoudre seul une majorité de questions en favorisant ainsi le développement de son autonomie. Si un sujet a été donné à plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui nous semblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avons également regroupé certains énoncés d’oral qui nous semblaient complémentaires ou permettaient de donner un aperçu des sujets régulièrement abordés à l’écrit. Quant aux éléments de cours, chacun sait que ce qui est élégamment écrit dans un cours à la rédaction parfaite n’est pas toujours aussi clair dans l’esprit des élèves. . . et nous n’avons pas hésité, parfois, à sacrifier l’élégance de la rédaction à la redondance lorsque cette dernière nous permettait de rendre explicites des notions souvent restées implicites.
C’est en premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC1, PC2 et PC* du Lycée Henri Poincaré et PSI et PSI* du Lycée Henri Loritz de Nancy que nous adressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribué par leurs réactions, leurs questions, leurs erreurs et leur compréhension à guider nos efforts de présentation des exercices, de clarification des questions, de simplification des corrigés.
Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rédactionnelle est aussi une aventure humaine dans laquelle nous avons été aidés.
Aidés matériellement par l’Institut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis d’utiliser ses moyens informatiques et ses ressources documentaires. Aidés par l’IREM qui nous a donné un accès privilégié à ses ressources documentaires, ainsi que par l’I.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothèque nous a toujours reçus avec sourire et efficacité.
Aidés également par le Lycée Henri Poincaré de Nancy qui nous a accueillis chaque samedi matin, de septembre à mars, dans une salle équipée de moyens informatiques.
Aidés enfin par trois collègues du Lycée Henri Poincaré, Gilles Demeusois, Michel Eguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en détail et dont les remarques ont sensiblement amélioré le présent ouvrage. Que tous soient sincèrement remerciés.
Notre collègue de l’Institut Elie Cartan de Nancy, Françoise Géandier, a relu une partie du manuscrit... et a du supporter dans notre bureau commun la présence de l’ensemble de l’équipe. Nous la remercions et nous lui demandons de nous excuser pour le désordre conséquent.
Il est inévitable que certaines erreurs aient échappé à la vigilance de tous ceux qui ont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilité et nous espérons que ceux qui en découvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques à l’adresse suivante Elhaj.laamri@iecn.u-nancy.fr.
Enfin, si dans cette aventure humaine certaines personnes nous ont aidés, il en est sans qui rien n’aurait été possible. Nos compagnes, par leur infinie patience, leur soutien sans faille et leur attentive présence ont joué un rôle essentiel dans l’aboutissement de ce projet. Au moment de mettre un point final à cet ouvrage c’est vers elles que nos pensées se tournent.
Nancy le 15 avril 2008
El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alain Mansoux, David Rupprecht, Laurent Schwald
