Avant-propos
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Ce livre couvre le programme d’Analyse de deuxième année PC et PSI et poursuit
la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première année. Comme
pour l’ensemble de la collection, le respect du programme officiel est un principe
que nous avons suivi à la lettre. Ainsi, chaque exercice et chaque rappel de cours
faisant appel à une notion qui n’est pas commune aux programmes de PC et PSI
sont signalés de façon explicite. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l’approfondissement en deuxième année de certains points abordés en première année :
suites numériques, fonctions réelles d’une variable réelle, intégration sur un segment.
Nous avons mis à profit cette possibilité pour que le présent ouvrage, tout en étant
sans ambiguïté destiné aux élèves de deuxième année, présente trois chapitres utilisables en première lecture dès le deuxième semestre de première année et pour les
« révisions estivales » entre la première et la deuxième année.
Les premiers chapitres traitent des suites numériques et des fonctions réelles d’une variable réelle. Ces notions déjà détaillées dans l’ouvrage de première année sont complétées ici par des exercices d’oral de 2007 et par des sujets nécessitant une maturité qu’on ne peut attendre au premier semestre de la première année. L’inté- gration sur un segment présente un large choix d’exemples de calculs d’intégrales ainsi que la mise en œuvre des propriétés de l’intégrale (essentiellement les inégalités) et l’étude de fonctions définies par une intégrale. Ce chapitre permet de réviser et d’approfondir le programme de première année tout en donnant une vue réaliste des exercices donnés à l’oral. Dans les chapitres sur les séries numériques, séries de fonctions, séries entières, séries de Fourier, nous insistons sur les méthodes et non sur les solutions astucieuses. . . souvent peu reproductibles. De même dans les chapitres concernant l’intégration sur un domaine non compact, nous avons privilégié la méthode et la comparaison des outils. Par la ressemblance de leurs conclusions (mais non de leurs conditions d’application) certains théorèmes sont source de confusion : convergence uniforme, convergence normale, convergence dominée et corollaire, convergence des séries entières. Exemples et contre-exemples posent des points de repères pour éviter les confusions. Ensuite, dans la présentation des espaces vectoriels normés, nous avons tenu compte de l’appréhension, voire du malaise, que l’expérience nous a fait constater chez les élèves. Nous avons abordé ces notions en les mettant en œuvre dans un contexte familier et bien maîtrisé par les élèves (espaces de matrices et espaces de fonctions numériques continues sur un segment).
Les équations différentielles linéaires constituent un chapitre très riche qui fait appel à un ensemble de connaissances débordant largement le cadre du chapitre. La partie consacrée à l’assimilation propose une révision puis un inventaire technique avec des exercices de mise en œuvre directe. La synthèse et l’approfondissement font le lien avec la technique et l’ouverture vers des notions plus étendues et plus générales.
Clarification et points de repères nous ont semblé, là aussi, nécessaires. Enfin, même si les sujets concernant les équations différentielles non linéaires proviennent essentiellement des concours les plus « prestigieux », nous avons fait un effort particulier de rédaction pour les rendre abordables à tous les élèves et donner une occasion d’entraînement à l’écrit. Dans le chapitre consacré au calcul différentiel, nous avons tout d’abord rappelé les définitions essentielles, puis nous avons présenté de nombreux exemples d’application à la recherche d’extrema et à la résolution d’équations aux dérivées partielles. Le dernier chapitre est consacré aux calculs d’intégrales multiples et curvilignes, nous avons notamment insisté sur l’importance du paramétrage du domaine d’intégration et sur les techniques de changement de variables.
Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entre les principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première année et ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avions choisi de présenter et d’illuster de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une après l’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales et encore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choisi de présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser par étapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaque chapitre (sauf les deux premiers) est donc constitué de trois parties :
– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimilation immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complication inutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et une seule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois unités » : un exercice, une difficulté, une solution ; – des exercices d’entraînement dont la rédaction progressive et le découpage en questions ont pour objectif d’amener le lecteur à la compréhension en le confrontant de façon progressive aux difficultés propres à la notion étudiée ; – des exercices d’approfondissement destinés à mettre l’élève en situation de concours , avec la nécessité pour lui de faire preuve de compréhension, d’initiative, d’intuition et de maîtrise technique. La lecture d’un tel chapitre n’est donc plus nécessairement linéaire. La structure est parfaitement adaptée à des lecteurs de niveaux variés qui pourront éventuellement passer directement à une forme d’auto-évaluation en se concentrant sur les exercices d’approfondissements ou, au contraire, progresser pas à pas avec les exercices d’assimilation.
Si les élèves de deuxième année ont pu gagner en autonomie, il n’en reste pas moins que leurs niveaux de compétence et de compréhension restent très hétérogènes. Ainsi, entre des « 3/2 » qui découvrent le programme pour la première fois et n’ont encore été confrontés à aucun concours, des « 5/2 » qui ont déjà étudié le programme mais ont échoué à leur première expérience et des « 5/2 » déjà admis à des concours mais dont l’ambition les amène à viser encore plus haut, les différences sont très fortes. Ce sont ces différences, constatées en particulier lors des séances de « colles », qui nous ont amenés à cette rédaction permettant plusieurs niveaux de lecture et d’utilisation de l’ouvrage.
Entre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième année n’impose pas d’ordre ni de découpage, contrairement au programme de première année. Cette liberté nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adaptée et la plus équilibrée. Chaque étape présente un nombre de notions nouvelles acceptable pour une perception d’ensemble compatible avec la structure des chapitres. Il n’y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d’un escalier : la hauteur acceptable des marches et leur régularité peut faciliter l’ascension. . . Nous avons donc retenu une progression qui nous semble adaptée, sans affirmer pour autant que d’autres progressions sont à rejeter. Notre diversité d’expérience, avantage de la rédaction collective, nous amène d’ailleurs à utiliser différentes progressions dans nos pratiques d’enseignement. Il reste ensuite le choix le plus difficile : face à l’infinité d’exercices possibles et au temps fini dont disposent les élèves pour préparer les concours, que proposer ? Quelques principes ont guidé notre sélection :
– respecter le parti-pris de progressivité en donnant des exercices qui permettent d’assimiler, puis de s’entraîner et enfin d’approfondir ;
– donner une vue précise et réaliste d’exercices qui « tombent à l’oral » en s’appuyant en particulier sur une veille attentive des sujets donnés à l’oral dans plusieurs concours depuis plusieurs années ; – privilégier les exercices « génériques » dont la maîtrise donne les clefs de nombreux exercices (comme il avait déjà été annoncé en avant-propos des ouvrages de première année : habituer les élèves à reconnaître les « visages connus » sous leurs différentes apparences) ;
– profiter du « nomadisme » des exercices constaté entre des concours différents et ne pas hésiter à proposer un sujet de MP si son intérêt pédagogique le justifie, sachant que ce même sujet peut apparaître plus tard en PC ou PSI. . . – convaincre les élèves que les oraux couvrent tout le programme des deux années (le théorème des accroissements finis, par exemple, pose beaucoup de problèmes aux élèves qui doivent l’utiliser à l’oral).
Pour éviter l’arbitraire des préférences personnelles lors d’une rédaction collective, une référence incontestable et « objective » est nécessaire : nous avons choisi pour référence la réalité des exercices donnés à l’oral, principalement depuis 2004, date d’application du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le « classement » des élèves et non leur formation. Dans un ouvrage d’apprentissage quotidien, certaines retouches se sont avérées nécessaires : lorsqu’ils utilisent ce livre, les élèves sont en cours de formation et pas encore en concours ! Notre expérience d’enseignants d’abord, de « colleurs » ensuite, d’examinateurs enfin, nous a permis d’observer en situation réelle, dans différentes classes, les élèves face à ces exercices. . . ce qui nous a convaincus de la nécessité d’en faire évoluer la rédaction pour qu’ils passent du statut d’exercice d’oral au statut d’exercice pédagogique. Notre expérience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manière, dénaturer ces exercices. La rédaction retouchée de certains exercices répond à la fois à un objectif pédagogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l’élève par une rédaction détaillée qui fasse apparaître de façon explicite les difficultés et les techniques à maîtriser. Objectif psychologique de rassurer l’élève en l’amenant à résoudre seul une majorité de questions en favorisant ainsi le développement de son autonomie. Si un sujet a été donné à plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui nous semblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avons également regroupé certains énoncés d’oral qui nous semblaient complémentaires ou permettaient de donner un aperçu des sujets régulièrement abordés à l’écrit. Quant aux éléments de cours, chacun sait que ce qui est élégamment écrit dans un cours à la rédaction parfaite n’est pas toujours aussi clair dans l’esprit des élèves. . . et nous n’avons pas hésité, parfois, à sacrifier l’élégance de la rédaction à la redondance lorsque cette dernière nous permettait de rendre explicites des notions souvent restées implicites. C’est en premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC1, PC2 et PC* du Lycée Henri Poincaré et PSI et PSI* du Lycée Henri Loritz de Nancy que nous adressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribué par leurs réactions, leurs questions, leurs erreurs et leur compréhension à guider nos efforts de présentation des exercices, de clarification des questions, de simplification des corrigés.
Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rédactionnelle est aussi une aventure humaine dans laquelle nous avons été aidés. Aidés matériellement par l’Institut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis d’utiliser ses moyens informatiques et ses ressources documentaires.
Aidés par l’IREM qui nous a donné un accès privilégié à ses ressources documentaires, ainsi que par l’I.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothèque nous a toujours reçus avec sourire et efficacité.
Aidés également par le Lycée Henri Poincaré de Nancy qui nous a accueillis chaque samedi matin, de septembre à mars, dans une salle équipée de moyens informatiques. Aidés aussi par deux collègues de l’Institut Elie Cartan, Julien Chenal et Yannick Privat, qui ont lu une partie du manuscrit.
Aidés enfin par trois collègues du Lycée Henri Poincaré, Gilles Demeusois, Michel Eguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en détail et dont les remarques ont sensiblement amélioré le présent ouvrage.
Que tous soient sincèrement remerciés.
Il est inévitable que certaines erreurs aient échappé à la vigilance de tous ceux qui ont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilité et nous espérons que ceux qui en découvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques à l’adresse suivante Elhaj.laamri@iecn.u-nancy.fr.
Enfin, si dans cette aventure humaine certaines personnes nous ont aidés, il en est sans qui rien n’aurait été possible. Nos compagnes, par leur infinie patience, leur soutien sans faille et leur attentive présence ont joué un rôle essentiel dans l’aboutissement de ce projet. Au moment de mettre un point final à cet ouvrage c’est vers elles que nos pensées se tournent.
Nancy le 15 avril 2008
El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alain Mansoux, David Rupprecht, Laurent Schwald
Les exercices qui nous ont semblé les plus difficiles sont signalés par un ou deux symboles K
Les premiers chapitres traitent des suites numériques et des fonctions réelles d’une variable réelle. Ces notions déjà détaillées dans l’ouvrage de première année sont complétées ici par des exercices d’oral de 2007 et par des sujets nécessitant une maturité qu’on ne peut attendre au premier semestre de la première année. L’inté- gration sur un segment présente un large choix d’exemples de calculs d’intégrales ainsi que la mise en œuvre des propriétés de l’intégrale (essentiellement les inégalités) et l’étude de fonctions définies par une intégrale. Ce chapitre permet de réviser et d’approfondir le programme de première année tout en donnant une vue réaliste des exercices donnés à l’oral. Dans les chapitres sur les séries numériques, séries de fonctions, séries entières, séries de Fourier, nous insistons sur les méthodes et non sur les solutions astucieuses. . . souvent peu reproductibles. De même dans les chapitres concernant l’intégration sur un domaine non compact, nous avons privilégié la méthode et la comparaison des outils. Par la ressemblance de leurs conclusions (mais non de leurs conditions d’application) certains théorèmes sont source de confusion : convergence uniforme, convergence normale, convergence dominée et corollaire, convergence des séries entières. Exemples et contre-exemples posent des points de repères pour éviter les confusions. Ensuite, dans la présentation des espaces vectoriels normés, nous avons tenu compte de l’appréhension, voire du malaise, que l’expérience nous a fait constater chez les élèves. Nous avons abordé ces notions en les mettant en œuvre dans un contexte familier et bien maîtrisé par les élèves (espaces de matrices et espaces de fonctions numériques continues sur un segment).
Les équations différentielles linéaires constituent un chapitre très riche qui fait appel à un ensemble de connaissances débordant largement le cadre du chapitre. La partie consacrée à l’assimilation propose une révision puis un inventaire technique avec des exercices de mise en œuvre directe. La synthèse et l’approfondissement font le lien avec la technique et l’ouverture vers des notions plus étendues et plus générales.
Clarification et points de repères nous ont semblé, là aussi, nécessaires. Enfin, même si les sujets concernant les équations différentielles non linéaires proviennent essentiellement des concours les plus « prestigieux », nous avons fait un effort particulier de rédaction pour les rendre abordables à tous les élèves et donner une occasion d’entraînement à l’écrit. Dans le chapitre consacré au calcul différentiel, nous avons tout d’abord rappelé les définitions essentielles, puis nous avons présenté de nombreux exemples d’application à la recherche d’extrema et à la résolution d’équations aux dérivées partielles. Le dernier chapitre est consacré aux calculs d’intégrales multiples et curvilignes, nous avons notamment insisté sur l’importance du paramétrage du domaine d’intégration et sur les techniques de changement de variables.
Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entre les principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première année et ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avions choisi de présenter et d’illuster de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une après l’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales et encore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choisi de présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser par étapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaque chapitre (sauf les deux premiers) est donc constitué de trois parties :
– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimilation immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complication inutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et une seule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois unités » : un exercice, une difficulté, une solution ; – des exercices d’entraînement dont la rédaction progressive et le découpage en questions ont pour objectif d’amener le lecteur à la compréhension en le confrontant de façon progressive aux difficultés propres à la notion étudiée ; – des exercices d’approfondissement destinés à mettre l’élève en situation de concours , avec la nécessité pour lui de faire preuve de compréhension, d’initiative, d’intuition et de maîtrise technique. La lecture d’un tel chapitre n’est donc plus nécessairement linéaire. La structure est parfaitement adaptée à des lecteurs de niveaux variés qui pourront éventuellement passer directement à une forme d’auto-évaluation en se concentrant sur les exercices d’approfondissements ou, au contraire, progresser pas à pas avec les exercices d’assimilation.
Si les élèves de deuxième année ont pu gagner en autonomie, il n’en reste pas moins que leurs niveaux de compétence et de compréhension restent très hétérogènes. Ainsi, entre des « 3/2 » qui découvrent le programme pour la première fois et n’ont encore été confrontés à aucun concours, des « 5/2 » qui ont déjà étudié le programme mais ont échoué à leur première expérience et des « 5/2 » déjà admis à des concours mais dont l’ambition les amène à viser encore plus haut, les différences sont très fortes. Ce sont ces différences, constatées en particulier lors des séances de « colles », qui nous ont amenés à cette rédaction permettant plusieurs niveaux de lecture et d’utilisation de l’ouvrage.
Entre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième année n’impose pas d’ordre ni de découpage, contrairement au programme de première année. Cette liberté nous a permis de choisir une progression qui nous semblait la plus adaptée et la plus équilibrée. Chaque étape présente un nombre de notions nouvelles acceptable pour une perception d’ensemble compatible avec la structure des chapitres. Il n’y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d’un escalier : la hauteur acceptable des marches et leur régularité peut faciliter l’ascension. . . Nous avons donc retenu une progression qui nous semble adaptée, sans affirmer pour autant que d’autres progressions sont à rejeter. Notre diversité d’expérience, avantage de la rédaction collective, nous amène d’ailleurs à utiliser différentes progressions dans nos pratiques d’enseignement. Il reste ensuite le choix le plus difficile : face à l’infinité d’exercices possibles et au temps fini dont disposent les élèves pour préparer les concours, que proposer ? Quelques principes ont guidé notre sélection :
– respecter le parti-pris de progressivité en donnant des exercices qui permettent d’assimiler, puis de s’entraîner et enfin d’approfondir ;
– donner une vue précise et réaliste d’exercices qui « tombent à l’oral » en s’appuyant en particulier sur une veille attentive des sujets donnés à l’oral dans plusieurs concours depuis plusieurs années ; – privilégier les exercices « génériques » dont la maîtrise donne les clefs de nombreux exercices (comme il avait déjà été annoncé en avant-propos des ouvrages de première année : habituer les élèves à reconnaître les « visages connus » sous leurs différentes apparences) ;
– profiter du « nomadisme » des exercices constaté entre des concours différents et ne pas hésiter à proposer un sujet de MP si son intérêt pédagogique le justifie, sachant que ce même sujet peut apparaître plus tard en PC ou PSI. . . – convaincre les élèves que les oraux couvrent tout le programme des deux années (le théorème des accroissements finis, par exemple, pose beaucoup de problèmes aux élèves qui doivent l’utiliser à l’oral).
Pour éviter l’arbitraire des préférences personnelles lors d’une rédaction collective, une référence incontestable et « objective » est nécessaire : nous avons choisi pour référence la réalité des exercices donnés à l’oral, principalement depuis 2004, date d’application du nouveau programme. Mais ces exercices ont pour objectif le « classement » des élèves et non leur formation. Dans un ouvrage d’apprentissage quotidien, certaines retouches se sont avérées nécessaires : lorsqu’ils utilisent ce livre, les élèves sont en cours de formation et pas encore en concours ! Notre expérience d’enseignants d’abord, de « colleurs » ensuite, d’examinateurs enfin, nous a permis d’observer en situation réelle, dans différentes classes, les élèves face à ces exercices. . . ce qui nous a convaincus de la nécessité d’en faire évoluer la rédaction pour qu’ils passent du statut d’exercice d’oral au statut d’exercice pédagogique. Notre expérience nous a permis cette adaptation sans, en aucune manière, dénaturer ces exercices. La rédaction retouchée de certains exercices répond à la fois à un objectif pédagogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l’élève par une rédaction détaillée qui fasse apparaître de façon explicite les difficultés et les techniques à maîtriser. Objectif psychologique de rassurer l’élève en l’amenant à résoudre seul une majorité de questions en favorisant ainsi le développement de son autonomie. Si un sujet a été donné à plusieurs concours, nous avons toujours choisi la version qui nous semblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avons également regroupé certains énoncés d’oral qui nous semblaient complémentaires ou permettaient de donner un aperçu des sujets régulièrement abordés à l’écrit. Quant aux éléments de cours, chacun sait que ce qui est élégamment écrit dans un cours à la rédaction parfaite n’est pas toujours aussi clair dans l’esprit des élèves. . . et nous n’avons pas hésité, parfois, à sacrifier l’élégance de la rédaction à la redondance lorsque cette dernière nous permettait de rendre explicites des notions souvent restées implicites. C’est en premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC1, PC2 et PC* du Lycée Henri Poincaré et PSI et PSI* du Lycée Henri Loritz de Nancy que nous adressons, collectivement, nos remerciements. Ils ont en effet largement contribué par leurs réactions, leurs questions, leurs erreurs et leur compréhension à guider nos efforts de présentation des exercices, de clarification des questions, de simplification des corrigés.
Toujours aussi enthousiasmante cette aventure rédactionnelle est aussi une aventure humaine dans laquelle nous avons été aidés. Aidés matériellement par l’Institut Elie Cartan de Nancy qui nous a permis d’utiliser ses moyens informatiques et ses ressources documentaires.
Aidés par l’IREM qui nous a donné un accès privilégié à ses ressources documentaires, ainsi que par l’I.U.T Nancy-Charlemagne dont la bibliothèque nous a toujours reçus avec sourire et efficacité.
Aidés également par le Lycée Henri Poincaré de Nancy qui nous a accueillis chaque samedi matin, de septembre à mars, dans une salle équipée de moyens informatiques. Aidés aussi par deux collègues de l’Institut Elie Cartan, Julien Chenal et Yannick Privat, qui ont lu une partie du manuscrit.
Aidés enfin par trois collègues du Lycée Henri Poincaré, Gilles Demeusois, Michel Eguether et Edouard Lebeau qui nous ont lus en détail et dont les remarques ont sensiblement amélioré le présent ouvrage.
Que tous soient sincèrement remerciés.
Il est inévitable que certaines erreurs aient échappé à la vigilance de tous ceux qui ont lu cet ouvrage. Nous en assumons seuls la responsabilité et nous espérons que ceux qui en découvriront voudront bien nous faire part de leurs remarques à l’adresse suivante Elhaj.laamri@iecn.u-nancy.fr.
Enfin, si dans cette aventure humaine certaines personnes nous ont aidés, il en est sans qui rien n’aurait été possible. Nos compagnes, par leur infinie patience, leur soutien sans faille et leur attentive présence ont joué un rôle essentiel dans l’aboutissement de ce projet. Au moment de mettre un point final à cet ouvrage c’est vers elles que nos pensées se tournent.
Nancy le 15 avril 2008
El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alain Mansoux, David Rupprecht, Laurent Schwald
Les exercices qui nous ont semblé les plus difficiles sont signalés par un ou deux symboles K
